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* §9.6 对称矩阵的标准形 * §9.6 对称矩阵的标准形 一、实对称矩阵的一些性质 二、对称变换 三、实对称矩阵可正交相似于实对角矩阵 四、实二次型的主轴问题 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 一、实对称矩阵的一些性质 引理1 设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数． 证：设 是A的任意一个特征值，则有非零向量 满足 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 其中 为 的共轭复数， 令 又由A实对称，有 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 由于 是非零复向量，必有 故 考察等式， Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 引理2 设A是实对称矩阵，在 n 维欧氏空间 上 定义一个线性变换 如下： 则对任意 有 或 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 证：取 的一组标准正交基， 则 在基 下的矩阵为A，即 任取 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 即 于是 又 是标准正交基， Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 即有 又注意到在 中 二、对称变换 1．定义 则称 为对称变换． 设 为欧氏空间V中的线性变换，如果满足 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 1）n维欧氏空间V的对称变换与n级实对称矩阵在 标准正交基下是相互确定的： 2．基本性质 ① 实对称矩阵可确定一个对称变换． 一组标准正交基． 事实上，设 为V的 定义V的线性变换 ： 则 即为V的对称变换． Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. ② 对称变换在标准正交基下的矩阵是实对称矩阵． 为V的一组标准正交基， 事实上，设 为n维欧氏空间V上的对称变换， 为 在这组基下的矩阵，即 或 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 于是 即 所以A为对称矩阵． 由 是对称变换，有 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 2）（引理3）对称变换的不变子空间的正交补也是 它的不变子空间． 对 任取 即 证明：设 是对称变换，W为 的不变子空间． 要证 即证 由W是 子空间，有 因此 故 也为
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