群论在分子对称性方面应用浅说-ICL,PKU-北京大学.ppt

引入 分子的对称性与群论的关系 群论为研究分子对称性方面提供了 可靠的数学理论基础。 几个重要的概念 对称操作：是能使一个客体复原的操作，即对称操作是将客体变换为客体自身的一个操作。 对称元素：是对称操作的视线所借助的点、线、面等几何要素称为对称元素。 点对称操作：是指对客体进行对称操作是之原复的过程，客体内至少有一点不产生位移。 几个重要的概念 对称面：一个对称面必须通过一个物体，即平面不能完全在物体之外 ，从每个原子向平面作垂线，把这条线向平面的反面延长相等的距离，并把原子移到线的另一端，若对分子中所有原子都完成了这种操作后，得到一个等价构型，所用的平面就是对称面。 反映：对称面只生成一个操作，即反映 几个重要的概念 反演中心：坐标原点位于分子中的某一点时，若把每个原子的坐标（x , y , z）变换为（-x , -y ,-z）可使分子进入等价构型，那么原点所在的点被称为对称中心或反演中心。反演中心和反演操作的符号是斜体字I。和平面一样，反演中心是生成一个操作的元素。 反演：反演中心只生成一个操作即反演 几个重要的概念 真轴：主轴 真转动：即绕主轴旋转角度2π/n，n 是轴的阶，它表示为了恒等于原始构型所必须重复的生成等架构型的最少转动次数。 非真轴转动：可以看为是真转动，然后通过垂直于转动轴的平面反映。 非真轴：实现上述过程对应的轴称为非真轴转动，或简称为非真轴转动。 几个重要的概念 根据镜面σ和主轴在空间排布方式的不同下标表示 （1） 当σ垂直于主轴 （2） 当σ通过主轴 （3） 当σ通过主轴平分副轴的夹角 几个重要的概念 循环群 若群G的每个群元素是某个元素A的幂A的K次，K是整数，则群A为G的生成元素。 阶 群元素的数目是有限的群。有限群中互不相同的元素的个数称为该群的阶。 对称操作的分类 对称操作可以分两类： 第一类：包括旋转和平移的组合，这类操作能够在实际的操作中付诸实现。例如，对模型分子任意进行旋转和平移。 第二类：包含反映和反演操作，它们只能在想象中获是数学变换中实现，但不能付之实际操作。例如一只左手通过镜面反映变换唯有手，但不能从实物中变换出右手来。 对称操作的矩阵表示 对称操作可理解为客体相对于固定的坐标系进行运动。所以进行对称操作后，原来客体的坐标位置（x , y , z）变换为新的坐标位置（ x’ ,y’ , z’）。这种操作可用变换矩阵W将新旧位置的坐标联系起来： x’=Wx 式中W称为操作矩阵。 群的定义和性质 群的定义：按照一定的二元运算组合并能满足下列各点要求的集合G称为群。这个二元运算一般称为乘。集合G的元素可以是数、代数符号或任何物理运动。 群对乘法计算满足以下条件： （1）集合G中任何两个元素（相同的或不同的）相乘，其结果必定仍是G中的一个元素。这点规定了群具有封闭性。 （2）这个运算符合分配律：A（BC）=（AB）C。书写时从左到右，执行运算时从右到左。此运算不一定符合交换律。 群的定义和性质 （3）有一个恒等元素E存在。对于任一元素A，有EA=AE=A。E在G中是唯一的，一般用E或e代表。 （4）任何元素都有一个逆元素，这个逆元素也在G中，若AB=BA=E成立，则称B为A 的逆元，A为B的逆元。记作 =B或 =A 重要推论 可以证明一个物体的对称操作的完全集合对构成群。 具体实例:NH3分子为例，证明它的对称操作构成群。 实例 NH3分子呈三角锥形，它有下列的对称操作： （1）恒等操作E，使每一个原子都不变。 （2）操作A使NH3分子通过NH1，并且平分H2-H3连线的平面进行反映，如图。 （3）操作B使NH3分子通过NH2，并且平分H1-H3连线的平面进行反映，如图。 （4）操作C使NH3分子通过NH3，并且平分H1-H2连线的平面进行反映，如图。 （5）操作D使NH3分子绕C3轴（Z轴）逆时针旋转1200，如图。 （6）操作F使NH3分子绕C3轴转2400，如图 对称元素和对称操作的一般关系 一般关系：乘积、交换 乘积：即对称操作的相继进行 1、两个旋转的乘积 2、反映的乘积 3、旋转和反映的组合 对称元素和对称操作的一般关系 交换 下列各对称操作永远是可交换的 （1）两个绕同一轴的转动。 （2）通过相互垂直的平面的反映。 （3）反演和任一反映或转动。 （4）绕相互垂直的轴的两个C （5）转动和垂直于转动轴的平面反映。 具体应用：点群的分类和分子的点群 （一）（重点） 只含一个对称元素