随机变量的分布函数课件.pptVIP

§2.3 随机变量的分布函数 一、分布函数的概念 对于离散随机变量X，我们可以用分布律来描述概率分 布，对于非离散型随机变量由于其可能取的值不能一一列 出，因此想采用分布律的形式来描述其概率分布是不可能 的．然而,我们可以转而去研究该随机变量在一个区间内取 值的概率．如,考虑对于任意实数 （ ），落在区间 上的概率 , 但由于 = 因此我们只需考虑 和 形式的概率就可以 了，而 与 具有相同的形式，因此，我们有 下面的概念. 定义2.7 设X是一个随机变量， 是任意实数，则称函数 （2—10） 为X的分布函数或累积分布函数 （Cumulative Distribution Function）． 根据定义， 定义在整个实数轴上， 在任意实数 处 的函数值就是随机变量X落在实数轴 点及其整个左侧区间 的概率． 对于任意的实数 , 当 时，有 （2—11） 从这个意义上说，分布函数完整地描述了随机变量的统计规 律性．分布函数是一个普通的函数，通过它，我们将能用分 析的方法来研究随机现象的统计规律． 二、分布函数的性质 1．（单调非降性） 对于任意实数 ,当 时, 有 ≤ ； 事实上，由（2—11）， － = ≥0　即 知此性质成立． 2.（规范性）对于任意实数 ， ；且 ；（证略） 3. (右连续性) 对于任意实数 ，有 F(x+0) = F（x）．（证略） 反过来，理论上还可以证明满足以上三条性质的函数 , 一定是某个随机变量X的分布函数．利用分布函数，可以进 行概率计算，几个经常用到公式为： 对于任意实数 ，有 (1). = ;（证略) （2－12） (2). = ； 证明　根据（2－10）和（2－12）可知 　　　 □ 类似可证 (3). =1－ ； (4). =1－ ； 三、分布函数与离散型随机变量分布律的关系 一般地 （1）若离散型随机变量的分布律为： 则对于任意实数 ,X的分布函数为 (2－13) = 即, 的值等于所有不大于 的 对应的概率之和． （2）设离散型随机变量X的分布函数为 ， 为其间断 点 =1, 2, …, 则X的分布律为 = , =1，2，….