二维线性变换.pptVIP

即高斯函数的频谱也有高斯形状，具有低通滤波特性。对于Gabor变换，可以利用窗函数取出信号在τ附近的一个窗口进行分析，即在时间上进行定位。开窗过程为时域相乘，频域变为与一 函数卷积。 因此，离散小波变换也是一种时频分析，它将基本小波，以规定的步长左右移动，并用尺度因子压缩或扩张函数，从而构成一个小波函数系。函数的离散小波变换就是相当于与这些不同m,n对应的小波函数的内积。 f(2x)的频谱范围加倍,f(x/2)的频谱范围减半 也就是说，Vm-1空间的函数，也可以分解到子空间Vm和Wm，分别对应平滑逼近和离散细节两部分。 由于式中的h和g下标以l-2n变化,相当于用h或g卷积后，采样频率减半 基本小波的选取有很大的灵活性，只要满足容许条件即可。因此可根据不同的应用选取不同基本小波。这也是小波变换比经典的Fourier变换有更广的适用性的一个原因。 小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1974年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要经验的建立了反演公式，当时未能得到数学家的认可。正如1807年法国的热学工程师J.B.J.Fourier提出任一函数都能展开成三角函数的无穷级数的创新概念未能得到??名数学家J.L.Lagrange，P.S.Laplace以及A.M.Legendre的认可一样。幸运的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的发现、Hardy空间的原子分解和无条件基的深入研究为小波变换的诞生做了理论上的准备，而且J.O.Stromberg还构造了历史上非常类似於现在的小波基；1986年??名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基，并与S.Mallat合作建立了构造小波基的同意方法??多尺度分析之后，小波分析才开始蓬勃发展起来，其中比利时女数学家I.Daubechies撰写的《小波十讲（Ten?Lectures?on?Wavelets）》对小波的普及起了重要的推动作用。它与Fourier变换、视窗Fourier变换（Gabor变换）相比，这是一个时间和频率的局网域变换，因而能有效的从信号中提取资讯，通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度细化分析（Multiscale?Analysis），解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题，从而小波变化被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展。?  Maxico Hat小波的更普遍形式可由Gauss函数的k阶导数给出 传统的小波变换系数为一般为浮点数，而且计算也较复杂。1994 年，Sweldens 和Daubechies 等学者提出了一种新的小波构造方法——提升方案（shifting scheme）。 提升方法可以分为分裂（splitting）、预测（prediction）、更新（update）三个步骤，如图6-31 所示。 * * * 第6章 * 6.8.7二维小波变换 1．二维连续小波 其中二维小波 二维连续小波反变换 * * * 第6章 * 2．二维离散正交小波 可定义二维可分离尺度函数 则二维基本小波 * * * 第6章 * 二进小波函数集 是 下的正交归一基 而 是 下的二维尺度函数,尺度为 是原图 的逼近,对应 分别对应水平、垂直和对角三个方向上的细节补充 * * * 第6章 * 图像的二维离散小波变换 原图 第一层 第二层 * * * 第6章 * (a) 原图 (b) 离散小波变换图 * * * 第6章 * 6.8.8 小波包 小波分解将函数空间划分为一系列子空间 相当于用一组滤波器将一个函数分解为一系列频段 频段的宽度呈对数关系，低频段组成窄频段，高段组成宽频段，是恒定Q滤波器 如对 空间的三级剖分 * * * 第6章 * ↓2 三尺度FWT滤波器 hn gn ↓2 ↓2 hn gn ↓2 ↓2 hn gn ↓2 (a)滤波器方框图 (b)分析树 (c)频谱分离特性 * * * 第6章 * ` 小波包: 对高频部分也进行剖分 可对高频也进行细分观测和控制 分析树表示 其中A表示概貌滤波，D表示细节滤波 一个三尺度小波包分析树 * * * 第6章 * ↓2 hn gn ↓2 ↓2 hn gn ↓2 ↓2 hn gn ↓2 三尺度全小波包滤波器方框图 ↓2 hn gn ↓2 ↓2 hn gn ↓2 ↓2 hn gn ↓2 ↓2 hn gn ↓2 * * * 第6章 * 三尺度全小波包频谱分离特性 * * * 第6章 * 一幅指纹图像的三尺度全小波包分解