第六单元中心极限定理.pptVIP

设随机变量 X 的方差 D ( X )存在， 则对于任意实数 ? 0, 切贝雪夫（ chebyshev ）不等式 或 重要不等式----- Ex Ex+e Ex-e j(x) x ?Dx/e2 如: 意思是:当 a 而 意思是: 时,Xn落在 内的概率越来越大. ,当 定义 a 是一常数， (或 则称随机变量序列 依概率收敛 于常数 a , 记作 是一系列随机变量， 设 有 若 大数定律 贝努里（Bernoulli） 大数定律 设 nA 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的 次数, p 是每次试验中 A 发生的概率，则 有 或 Chebyshev大数定律 相互独立， 设随机变量序列 (指任意给定 n 1, 相互独立)，且 具有相同的数学期望和方差 则 有 或 特别一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，则这种量一般都近似服从正态分布. 高斯指出“测量误差服从正态分布” 5.2 中心极限定理 正态分布在自然界中极为常见. 如：炮弹射击的落点与目标的偏差 设{Xn}为随机变量序列，X为随机变量，其对应的分布函数分别为Fn(x), F(x). 若在F(x)的连续点，有 则称{Xn}依分布收敛于X. 可记为 一.依分布收敛 二.几个常用的中心极限定理 1.独立同分布中心极限定理(Levy-Lindeberg) 设{Xn}为独立同分布随机变量序列，若EXk=??，DXk= ?2 ?，k=1, 2, …, 则{Xn}满足中心极限定理。 即 n 足够大时，Y n *的分布函数近似于标准正态 近似服从 例1.将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于300的概率是多少？ 解:设 Xk为第k 次掷出的点数,k=1,2,…,100,则 X1,…,X100独立同分布. 由中心极限定理 二项分布的正态近似 考虑如果Xn是0-1分布， 定理2 德莫佛 — 拉普拉斯中心极限定理 （DeMoivre-Laplace ） 设 Y n ~ B( n , p) , 0 p 1, n = 1,2,… 则对任一实数 x，有 证明: 设 第i次试验事件A发生 第i次试验事件A不发生 则 由中心极限定理,结论得证。 定理表明，当n很大，二项变量 的分布近似正态分布 N(np,np(1-p)). 设 Y n ~ B( n , p) , 0 p 1, n = 1,2,… 则对任意x，有 二项分布的随机变量可看作许多相互独立的0-1分布的随机变量之和, 下面是当x-B(20,0.5)时, x的概率分布图 例2 设有一大批种子，其中良种占1/6. 试估计 在任选的6000粒种子中，良种所占比例与 1/6比较上下不超过1%的概率. 解 设 X 表示6000粒种子中的良种数 , 则 X ~ B(6000,1/6) 三. 中心极限定理的应用 近似 例3 某车间有200台车床，每台独立工作，开工 率为0.6. 开工时每台耗电量为 r 千瓦. 问供 电所至少要供给这个车间多少电力, 才能以 99.9% 的概率保证这个车间不会因供电不足 而影响生产？ 解 设至少要供给这个车间 a 千瓦的电力 设 X 为200 台车床的开工数. X ~ B(200,0.6) , 问题转化为求 a , 使 X ~ N (120, 48) (近似) 由于将 X 近似地看成正态分布，故 反查标准正态函数分布表，得 令 解得 (千瓦) 例4 检查员逐个地检查某种产品, 每检查一只 产品需要用10秒钟 . 但有的产品需重复检 查一次，再用去10秒钟. 假设产品需要重 复检查的概率为 0.5, 求检验员在 8 小时内 检查的产品多于1900个的概率. 解 检验员在 8 小时内检查的产品多于1900个 即检查1900个产品所用的时间小于 8 小时. 设 X 为检查1900 个产品所用的时间(单位： 秒) 设 Xk 为检查第 k 个产品所用的时间(单位：秒), k = 1,2,…,1900 Xk P 10 20 0.5 0.5 相互独立,且同分布, 解法二 — 1900个产品中需重复检查的个数 例5 对敌人的防御工事用炮火进行 100 次轰击, 设每次轰击命中的炮弹数服从同一分布, 其 数学期望为 2, 均方差为 1.5 . 如果各次轰击