第4单元 静态场边值问题的解法.pptVIP

第四章 静态场边值问题的解法 本章重点及知识点 边值问题的唯一性定理 镜像法 分离变量法 复变函数法 格林函数法 有限差分法 本章内容安排 4.1 边值问题的分类 4.2 唯一性定理 4.3 镜像法 4.4 分离变量法 4.5 复变函数法 4.6 格林函数法 4.7 有限差分法 第四章 静态场边值问题的解法 4.1 边值问题的分类 1 定义 通过微分方程及相关边界条件描述的问题 2 分类 第一类边值问题：给定整个边界上的位函数值； 第二类边值问题：给定边界上每一电位函数的法向导数； 第三类边值问题：给定一部分边界上每一点的电位，同时给定另一部分边界上每一点电位法向导数。 第四章 静态场边值问题的解法 4.2 唯一性定理 4.2.1 格林公式 1 格林第一公式 由散度定理 令 则 第四章 静态场边值问题的解法 则 即 第四章 静态场边值问题的解法 2 格林第二公式 4.2.2 唯一性定理 对任意的静电场,当空间各点的电荷分布与整个边界上的边界条件已知时,空间个部分的场唯一确定。 第四章 静态场边值问题的解法 4.3 镜像法 1 用途 是解静电场边值问题的一种特殊方法，主要用来求解分布在导体附近的电荷产生的场。 2 分类 平面镜像法 球面镜像法 圆柱镜像法 平面介质镜像法 第四章 静态场边值问题的解法 4.4 分离变量法 1 内容 是数学物理方法中应用最广的一种方法，它要求所给的边界与一个适当的坐标系的坐标表面相重合，或分段重合，待求偏微分方程的解可表示成三个函数的乘积，每一个函数仅是一个坐标的函数。从而把偏微分方程化为常微分方程进行求解。 第四章 静态场边值问题的解法 2 实现分离变量法的步骤 分离变量。将偏微分方程的定解问题化为常微分方程的定解问题（线性齐次偏微分方程）； 确定固有值和固有函数。当边界条件是齐次的时，利用其求固有值，并求出满足零边界条件的非零解； 求解其他常微分方程。得到满足齐次边界条件的偏微分方程的特解Un（x，y）； 将所有Un（x，y）叠加，利用其中的常数使其满足偏微分方程其余的定解条件。 第四章 静态场边值问题的解法 3 分离变量法的分类 直角坐标系中的分离变量法 圆柱坐标系中的分离变量法 球坐标系中的分离变量法 4.5 复变函数法 主要用途 用于求解复杂边界的二维边值问题，且在一般条件下，其解具有较简单的形式，可方便地计算电容。 第四章 静态场边值问题的解法 4.5.1 复电位 若复变函数 为解析函数，则实部和虚部间满足柯西-黎曼条件： 解析函数的实部和虚部满足二维拉普拉斯方程： 第四章 静态场边值问题的解法 在无源区，二维静电场的电位满足拉普拉斯方程，即二维静电场的电位可用解析函数的实部或虚部表示。 对于解析函数 曲线簇 和曲线簇 处处相互正交。即任意解析函数的实部和虚部均满足二维拉普拉斯方程，且实部和虚部的等值线相互垂直。 第四章 静态场边值问题的解法 由于二维静电问题的等位线和电力线相互垂直，故如果用虚部表示电位，则实部的等直线 就表示电通量线，此时称该实部为通量函数，称解析函数 为复电位。 第四章 静态场边值问题的解法 4.5.2 用复电位解二维边值问题 通量函数 若利用某一解析函数的虚部表示二维电场的电位，则 如图所示，通过曲面的电通量为 第四章 静态场边值问题的解法 第四章 静态场边值问题的解法 B E 导体 E dS dl A x y 电通量函数 4.6 格林函数 1 格林函数的内容 是数学物理方法中的基本方法之一，可用于求解静态场中的拉普拉斯方程，泊松方程及时变场中的亥姆霍兹方程。 2 格林函数的要点 求出与待解问题具有相同边界形状的格林函数； 通过积分得到具有任意分布源的解。 第四章 静态场边值问题的解法 4.6.1 静电场边值问题的格林函数表示方法 1 给定边界形状下一般边值问题的格林函数 2 格林函数边界条件的分类 第一类边值问题的格林函数 第四章 静态场边值问题的解法 第二类边值问题的格林函数 第三类边值问题的格林函数 第四章 静态场边值问题的解法 4.6.2 简单边界的格林函数 无界空间的格林函数 上半空间的格林函数 球内、外空间的格林函数 第四章 静态场边值问题的解法 4.7 有限差分法 1．差分原理 有限差分法将连续场域内的问题转化为离散系统的问题，通过离散化模型上各离散点的数值解来逼近连续场域内的真实解。 2. 差分表示法 对于函数f(x)，当独立变量x有一微小增量?x＝h时，相应f(x)的增量为： 第四章 静态场边值问题的解法 称为函数f(x)的差分被称为有限差分。 中心差分 一阶差商 二阶差商 第四章 静