4-2一般矩阵的相似对角形.pptVIP

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2017-04-09 发布于四川
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4-2一般矩阵的相似对角形.ppt

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相似矩阵记 A~B (1) 相似矩阵具有自反性、对称性、传递性。 (2) A~B? A?B,反之不对。相似矩阵的简单性质：相似矩阵和相似变换的定义：相似与等价的关系 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 定理 n阶矩阵A∽B，则存在可逆矩阵P, 使得 fA (λ) = fB (λ) . Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 证明： A∽B → 存在可逆矩阵P, 使得 B = P－1AP → fB(λ) = |λE－B| = |λE－P－1 AP| = | P－1(λE－A)P | = | P－1 ||λE－A|| P | = | P－1 || P ||λE－A| = | P－1 P | |λE－A| = |λE－A| = fA (λ) . 说明，相似矩阵有相同的特征多项式，故线性变换A 的矩阵A 的特征多项式与基的选取无关，它反映了线性变换的本质属性，故可将矩阵A的特征多项称为线性变换A 的特征多项式，记为 fA (λ). 该定理的逆一般不成立，即 fA(λ) = fB(λ) 一般推不出A∽B . Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 但 A，B不相似. 因为与A = E 相似的矩阵只能是 A. ( 设 X－1 AX = B → B = X－1 AX = X－1 X = E = A ) 性质：相似矩阵有相同的特征值。注：属于同一特征值的特征向量的线性组合仍是属于这一特征值的特征向量；但属于不同特征值的特征向量的线性组合一般就不是特征向量了。证明矩阵有相同特征值的方法 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 利用对角矩阵计算矩阵多项式相似矩阵的简单应用： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 证明该结论实际上是Hamilton-Caylay定理 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 具体应用实例： Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. = 0 矩阵的相似对角化 Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 矩阵的相似对角化矩阵与对角阵相似的条件： = Evaluation only. Created with Aspose.Slides for .NET 3.5 Client Profile 5.2.0.0. Copyright 2004-2011 Aspose Pty Ltd. 由此可得什么结论？（且线性无关。） E