9.5 空间向量及其运算---习题课_784056.pptVIP

9.5 空间向量及其运算---习题课 知识结构及要点小结 例 题 解 析 例1 已知a，b均为单位向量，它们的夹角为600，那么︱ a+3b︱等于 （ ） D．4 分析 ： 故正确答案为C． 例2 已知向量a，b．且 则一定共线的三点是 ( ) A． A，B，D B． A，B，C C． B，C，D D． A，C，D 分折： 要证明三点共线，需证明从同一点发出的两个向量共线． 所以A，B，D三点共线．同理B，C，D三项错误．故正确答案为A． 例3 (2007·安徽)在四面体OABC中， ， D为BC的中点，E为AD的中点，则 (用a，b，c表示) 分析 ： 本题主要考查向量的基本运算． 如图所示， 故应填 例4 如图(1)所示，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点． (1)用向量法证明E，F，G，H四点共面； (2)用向量法证明BD∥平面EFGH． 分析 (1)要证E，F，G，H四点共面， 根据共面向量定理的推论，只要能找 到实数x、y，使 即可． (2)要证BD∥平面EFGH，只需证向 量 与 共线即可． 证明：(1)如图(2)所示，连结BG，EG, 则 由共面向量定理的推论知 E，F，G，H四点共面． 又 平面EFGH， 平面EFGH， ∴BD∥平面EFGH． 例5 如图所示，在正方体ABCD---A1B1C1D1中，E为D1C1的中点，试求A1C1与DE所成的角． 分析 在正方体AC1中，要求A1C1与DE所成的角，只需求 与 所成的角即可．要求 与 所成的角，则可利用向量的数量积， 只要求出 及 和 即可． 解：设正方体棱长为m, 则 又 又 即AC与DE所成的角为 例6 如图所示，对于空间某一点O，空间四个点A，B，C，D(无三点共线)分别对应着向量 求证A，B，C，D四点共面的充要条件是存在四个非零实数 使 且 分析 分清充分性和必要性， 应用共面向量定理证明． 证明：(必要性)假设A，B，C，D四点共面， ∵A，B，C三点不共线， 故 两向量不共线， 因而存在实数x、y.使 即 令 则 且 (充分性)如果条件成立，则 代入得：αa+βb+γc+δd=αa+βb+γc-(α+β+γ)d = 0 即 又 为非零实数，不妨设 则 与 共面，即A，B，C，D四点共面． 黄冈中学网校达州分校 黄冈中学网校达州分校 * 利用向量证明平行、共面,比较以前纯几何的证明,显而易 见用向量证明比较简单,这也正是几何问题代数化的特点. C  将线线角转化为两个向量的夹角；是解决这类问题的基本法 (充分性)如果条件成立， 则 在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的 时候,首先要选择恰当的充要条件形式,然后对照形式将已知条件 进行转化运算. 黄冈中学网校达州分校