4.8正弦函数、余弦函数的图象和性质（六）_783801.pptVIP

4.8 正弦函数、余弦函数的图象和性质（六） 教学目标： 1.会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间； 2.掌握三角函数最值问题的一些常见类型和解题方法. 教学重点：三角函数最值问题的解题方法 教学难点：三角函数最值问题的解题方法 1。 值域 正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］. 其中正弦函数y=sinx,x∈R ①当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1. ②当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1. 而余弦函数y＝cosx，x∈R ①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1. ②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1. 2。单调性 正弦函数在每一个闭区间［－ ＋2kπ， ＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［ ＋2kπ， ＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1. 余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1. 四、求三角函数最值时应注意的问题 三角函数最值问题是三角函数性质的重要内容之一，也是会考、高考必考内容，在求解中欲达到准确、迅速，除熟练掌握三角公式外，还应注意以下几点： 1．注意sinx、cosx自身的范围 4．注意代换后参数的等价性（见例4） 黄冈中学网校达州分校 黄冈中学网校达州分校 * 例1 求函数y=(sinx)2+2sinxcosx+3(cosx) 2 的最小值。 解:y=sin2x+ + =sin2x+cos2x+2= sin(2x+ )+2, 其中 1, 当 sin(2x+ )=-1时, ymin=2- 一、利用三角函数的有界性 二、例 题 解 析： 例2 a、b是不相等的正数.求 的最大值和最小值. 解：y是正值，故使y2达到最大(或最小)的x值也使y达 到最大(或最小). · ＋asin2x＋bcos2x y2＝acos2x＋bsin2x＋2 ＝a＋b＋ ∵a≠b，(a－b)2＞0，0≤sin22x≤1 ∴当sin2x＝±1时即x＝ (k∈Z)时，y有最大值 当sin2x＝0时，即x＝ (k∈Z)时，y有最小值 . 方法总结： 通过三角变换把形如asinx+bcosx的函数等价化归为y=Asin( x+ )，然后根据三角函数的有界性，求出函数的最值。同时注意角的取值范围。 二、利用三角函数的增减性 例3 在0≤x≤ 条件下，求y＝cos2x－sinxcosx－3sin2x 的最大值和最小值. 解：利用二倍角余弦公式的变形公式，有 y＝ －2sin2x－3· ＝2(cos2x－sin2x)－1＝2 (cos2xcos －sin2xsin )－1 cos(2x＋ )－1 ＝2 ∵0≤x≤ ≤2x＋ cos(2x＋ )在［0， ）上是减函数 故当x＝0时有最大值 当x＝ 时有最小值－1 cos(2x＋ )在［ ］上是增函数 综上所述， 当x＝0时，ymax＝1 时，有最小值－1，当x＝ 时，有最大值－ 故当x＝ 时，ymin＝－2 -1 当x＝ 例4 .求函数y=(sinx+a)(cosx+a)的最大值和最小值(0a≤ ) 解：y=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2 令 t=sinx+cosx, t∈[- , ], t2=1+2sinxcosx, y= (t+a)2+ a2 - t= 时，ymax=a2+ a+1/2 t=-a时， ymin=（a2 –1)/2 三、换元法 方法总结： 通过换元法化归利用二次函数性质求最值。同时要注意换元后新的变量的取值范围。 ∵－1≤sinx≤1， ∴当sinx＝－1时，ymax＝3 例5 求函数y＝cos2x－3sinx的最大值. 解：y＝cos2x－3sinx ＝－sin2x－3sinx＋1＝－(sinx＋ )2＋ 解此题易忽视sinx∈［－1，1］这一范围，认为sinx＝－ 时，y有最大值 ，造成误解. 2．注意条件中角的范围 解：y＝－sin2x＋sinx＋1＝－(sinx－ )2＋ ∵－ ≤x≤ ∴－ ≤sinx≤ 例6 已知｜x｜≤ ，求函数y＝cos2x＋sinx的最小值. ymin＝－(－ )2＋ ∴当sinx＝－ 时 解此题注意了条件