专题01数列（第02期）-高考数学（理）备考之百强校大题狂练系列Word版含解析.docVIP

2017届高考数学（理）大题狂练 专题01 数列 1.设正项等比数列的前项和为，且满足，.] （Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）设数列，求的前项和. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. （Ⅱ）由（Ⅰ）知： 故当时， 当时， 当时， . 考点：等差数列及其求和. 2.已知数列的前项和为，且，又数列满足：. （1）求数列的通项公式； （2）当为何值时，数列是等比数列？并求此时数列的前项和的取值范围. 【答案】（1）；（2），. 试题解析：（1）由， 当时，；当时，， 故数列的通项公式为 （2）由，则，则数列为等比数列， 则首项为满足的情况，故， 则. 而是单调递增的，故. 考点：数列的通项公式；数列的求和及等比数列的性质． 3.已知首项为的等比数列的前项和为，且成等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）对于数列，若存在一个区间，均有，则称为数列的“容值区间”.设，试求数列的“容值区间”长度的最小值. （注：区间的长度均为） 【答案】（1）；（2）． 试题解析：（1）设等比数列的公比为，由题意知， 则，化简得， 解得，∴. （2）由（1）可知. 当为偶数时，，易知随增大而增大，∴，此时； 当为奇数时，，易知随增大而减小，∴，此时. 又，∴.故数列的“容值区间”长度的最小值为. 考点：等比数列的通项公式；数列的性质的应用. 4.已知各项均不相等的等差数列的前五项和，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）若为数列的前项和，且存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 试题解析： （1）设数列的公差为，则 即 ………………………………………………………………2分 又因为，所以 ……………………………………………………………………………… 4分 所以. ………………………………………………………………………………………………5分 （2）因为， 所以. ……………………………………7分 因为存在，使得成立， 所以存在，使得成立， 即存在，使成立. ………………………………………………………………………9分 又，（当且仅当时取等号）， 所以. 即实数的取值范围是. …………………………………………………………………………12分 考点：数列、裂项求和法. 5.已知数列的前项和为，且是与2的等差中项，数列中，，点在直线上，． （1）求数列，的通项和； （2）求证：； （3）设，求数列的前项和． 【答案】(1)，；(2)证明见解析；(3)． 试题解析：（1）∵是与2的等差中项，∴， ∴，∴， 又，∴，（，）， 即数列是等比数列，， ∵点在直线上，∴，， 即数列是等差数列，又，∴． （2）∵ ， ∴． 考点：1、数列的通项；2、裂项求和法；3、错位相减法求和. 6.已知数列的前项和满足（），设. （1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）按以下规律构造数列，具体方法如下：，，，…，第项由相应的中项的和组成，求数列的通项公式． 【答案】（1）；（2）. 【解析】 试题分析：（1）由可得，且时，，两式相减得，变形得，可令，则数列是等差数列，根据等差数列的通项公式求得，即得数列的通项公式；（2）由（1）可知，上式为等差数列前项的和，由前项和公式求解即可. 试题解析：（1）在，①中，令，得，∴． 当时，，② ①②得：，（）， ∴， ∴， 又，∴， 又，所以数列是等差数列， ∴，又，∴． 考点：数列的递推公式与等差数列的前通项公式和前项和公式．