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高等数学 GaoDengShuXue 第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 第二节 数列的极限 第三节 函数的极限 第四节 无穷小与无穷大 第五节 极限运算法则 第六节 极限存在准则 两个重要极限 第七节 无穷小的比较 第八节 函数的连续性与间断点 第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性 第十节 闭区间上连续函数的性质 第一节 映射与函数 常量与变量 一.集合（set） 二.区间与邻域 三.映射 引例2. 说明: 2.逆映射与复合映射 定义6. 四.函数 例4 已知函数 2.函数的几种特性 3. 反函数与复合函数 (2)复合函数 4.基本初等函数 5.初等函数 例5 求 内容小结 在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数. 例如： 求 及 解: 函数无定义 并写出定义域及值域 . 定义域 值 域 (1)有界性 M -M y x o y=f(x) X 有界 无界 M -M y x o X 若X ， ， 有 成立，则 称函数 f(x) 在X上有界.否则称为无解. (2)单调性(monotonicity) 当 时, 称 为 I 上的单调增函数； 称 为I上的单调减函数 . x y o (3)函数的奇偶性(parity): 且有 若 则称 f (x) 为偶函数; 若 则称 f (x) 为奇函数. 说明: 若 在 x = 0 有定义 , 时, 则当f(x)为奇函数 必有 偶函数 y x o x -x y x o x -x 奇函数 (4)函数的周期性(periodicity): 且 则称 为周期函数 , 若 称 l 为周期 ( 一般指最小正周期 ). 周期为 ? 周期为 注: 周期函数不一定存在最小正周期 . (1) 反函数的概念及性质 若函数 为单射, 则存在逆映射 习惯上, 的反函数记成 称此映射 为 f 的反函数 . 其反函数 (减) (减) . 1) y＝f (x) 单调递增 且也单调递增 性质: 2) 函数 与其反函数 的图形关于直线 对称 . 例如 , 对数函数 互为反函数 , 它们都单调递增, 其图形关于直线 对称 . 指数函数 则 设有函数链 称为由①, ②确定的复合函数 , ① — 复合映射的特例 ② u 称为中间变量. 注意: 构成复合函数的条件 不可少. 例如, 函数链: 函数 但函数链 不能构成复合函数 . 可定义复合 两个以上函数也可构成复合函数. 例如, 可定义复合函数: 幂函数、 指数函数、 对数函数、 三角函数、 反三角函数 (1)幂函数(power functions ) 幂函数 ， 是常数. (2)指数函数 (exponential function) (3)对数函数 (logarithmic function) 正弦函数 (4)三角函数 余弦函数 正切函数 余切函数 正割函数 余割函数 (5)反三角函数 反正弦函数 反余弦函数 反正切函数 反余切函数 * 工科数学基础 * * xxx@cqust.edu.cn 变量的定义是相对于常量而言的，常量就是在我们所讨论过程中保持不变的量，初等数学里所讨论的对象一般都是常量，变量就是在这一过程中会起变化的量。例如，自由落体的下降时间和下降距离是变量，而落体的质量在这一过程中则可视为常量。变量常用字母表示：x, y, z, t, l,V等等. 因为变量往往同坐标系中的一个点对应，所以 变量x常称为点x. 变量具有一定的变化范围. 1.集合的定义及表示法 定义1. 具有某种特定性质的事物的总体称为集合. 元素a属于集合 M , 记作 元素a不属于集合 M , 记作 组成集合的事物称为元素. 不含任何元素的集合称为空集 , 记作 ? . ( 或 ) . 通常用大写字母A,B,C,...表示集合，集合的元数用小写字母a,b,c,…表示. 注: M 为数集 表示 M 中排除 0 的集; 表示 M 中排除 0 与负数的集 . 分类： 由有限个元素组成的集合称为有限集 由无限个元素组成的集合称为无限集 表示法： (1)列举法： 按某种方式列出集合中的全体元素 . 例: 有限集合 自然数集 (2)描述法： x 所具有的特征 例: 整数集合 或 有理数集 p与q互质 实数集合 x为有理数或无理数 定义2. 给定两个集合A,B, 并集 交集 且 差集 且 定义下列运算: 余集 或 直积 特例: 记 为平面上的全体点集 2.集合之间的关系与运算 是 B 的子集