素数个数连乘积式公式.doc

素数个数连乘积式公式 李联忠 李静 （1.营山中学 四川营山 637700 邮箱lianzhong.li2008@163.com 电话2.IBM 中国北京） 摘要：本文证明了不大于n的素数个数的连乘积式公式。长期以来，数论研究者对筛法相应的连乘积刻画素数个数褒贬不一。笔者通过十多年的研究，修正了连乘积刻画素数个数的偏差，使连乘积刻画素数个数只存在波动误差，从而得出与已有公式相比，相对误差是更低阶无穷小的素数个数连乘积式公式。它对解决有关素数问题奠定了基础。 关键词：数论；素数个数；公式 中图分类号：015 文献标识码： 文章编号： 在研究素数分布时，人们用到筛法，园法等。筛法是在正整数中，逐一去掉合数。比如，在1，2，3，…，29，30这30个整数中，2的倍数有30/2=15个,筛掉（或者说去掉）2的15个倍数后，余下1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29这15个数；这15个数中3的倍数有15/3=5个，去掉3，9，15，21，27这5个倍数后，余下1，5，7，11，13，17，19，23，25，29这10个数，5的倍数有10/5=2个，去掉5，25这2个倍数后，余下1，7，11，13，17，19，23，29这8个数；这8个数中，除1外全为素数。这一例子说明两个结论：一是在1到30这30个数中，2的倍数占比例为1/2；去掉2的倍数余下数中，3的倍数比例还是1/3；再去掉3的倍数余下数中，5的倍数所占比例仍为1/5；条件是2|30，3|30，5|30.二是去掉的是不大于的所有素数的倍数，余下的数除1外全是素数。结论二对于任意正整数n显然正确。结论一有下面的引理。 引理：若,，……,,为连续素数，1≤j≤i,且| n ，1≤m≤n ，则 m≠0(mod) 的数的个数可表示为 . 证明：I.当i=1时, ∵ =2 , |n ∴ 结论成立。 Ⅱ.假设i=k时，结论成立，即： 成立。 当i=k+1时， ∵ |n，|n，…， |n，据归纳假设 ∴ 因为|n ，所以 m=o (mod) 的数有个， 去了的倍数后，余 个 ∴ ∴ i=k+1时，结论 成立。 由I、Ⅱ可得，当i为任何正整数，结论都成立。 引理证毕。 任意正整数n，不大于的素数不一定是n的倍数（|n不满足）,因此，用引理的结论只能近似刻画余下数个数,下面通过对误差的分析和修正，得出了只有波动误差，且波动误差范围可以用表达式描述的素数个数连乘积式公式。即 定理：（素数个数连乘积式公式）：若,，……,,为连续素数，, 则不大于n的素数个数π(n)有公式（1）和公式（2）为 （1） π(n)= 其中g(n)满足：－g(n) （2） π(n)= 其中g(n)满足：－g(n) 证明： ∵ n＝1+(－1)+(－)+…++…+ ∴ 根据引理，区间［）的素数个数可近似表示为 (3) 因为，所以当=时，到之间的数没有的倍数，所以在去掉,，……,的倍数后，余下数中，的倍数个数是，而不是.比如区间［49，121）内的整数中，7的倍数有121/7－49/7=10+2/7个，即7的7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17这10个倍数，它们中只有2，3的倍数，没有5的倍数，但是，在减去去掉2，3，5的倍数后余下数中7的倍数时，仍然乘了（1－1/5）。 因为 ，为了与引理有相吻合的表达式，也避免向后演绎导致麻烦，采取让后的去素数倍数因子、、…、=f(k) (可以证明f(k)≈,γ为欧拉常数) 提前进入，来平衡少减的量。因为引入了调整因子，这样能使依次去掉每个素数时，有在连续整数中去掉这个素数的倍数的性质：误差小于1，且在涉及范围内（即连续几个含有该素数的大于或等于的倍数区间）成立。又因为依次连续去掉不大于的所有素数，前面的误差范围也乘了后面的缩小因子和调整因子，所以，区间［）以及(k+1)区间相加，误差小于±(k+1),所以区间［）有较精确的素数个数表达式 (4) +g() 其中g()满足：－g() 将（i+1）个区间的素数个数求和可得不大于n的素数个数公式 (1) π(n)= 其中g(n)满足：－g(n) 知道连乘积刻画素数个数导致偏差的原因，同理可得另一形式的 不大于n的素数个数公式