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高等数学期中考复习参考题型 一、填空 1. 旋转曲面x=y2+z2由坐标面xoy上的曲线---------------------绕-----------------轴旋转而成。 （答：xoy上的曲线----------x=y2-----------绕--------x---------轴旋转而成，参考图1-1 ） 2. 与直线平行的向量是------------------------------. (答：平行的向量是-------((3, -3, 3)------； 因为 (3, 2, -1)×(0, 1, 1)=(3, -3, 3) ) 3. 过点M(1,2,3)且平行于yoz面的平面方程为-------------------------------- （答：平面方程为---------x-1=0--------- 因为所求的平面的一个法向量为： ） 4. 当非零线量满足条件---------------时，((=(( (答：满足条件---------正交------时，参考图1-4 ) 5. 向量与y轴正向的夹角为---------------------. (答：夹角为------------------------ 因 ) 6. --------------.( 答：=-----0--------- 因 , ) 7. 设, dz=---------------------------- (答： 因 ) 8. 设，则=--------------------------- -(答：=---------------------- 因 =“椭圆围成的区域D的面积”== ) 9. ((x,y)在点(x0, y0)连续是((x,y)在该点可微的--------------------条件。（答：必要） 10. 交换二次积分的次序得--------------------------- （答：得---------------------- 由图1-10, 可知积分区域： = ， ∴ = 二、计算、解答题 1. 设 , 求。 解：，=，=。 2. 求 解：由图2-2，可知： ， == 3. 求 解：由图2-3，可知： === = 4.P154. 2(3).. 设D是由所确定的闭区域，求。 解：由图2-4，可知： =+ =+ =+= 5. 计算以xoy面上的圆周x2+y2=ax围成的闭区域为底，以曲面z=x2+y2为顶的曲顶柱体的体积。 解：所求曲顶柱体的体积为： ，其中D是xoy面上的圆周x2+y2=ax围成的闭区域。 在极坐标系中，D可表示为：0≤(≤acos(, ≤(≤, （图2-5) == =。 答：所求曲顶柱体的体积为。 6. P47. 例6 求过点M(2, 1, 3)且与直线垂直相交的直线方程。 解：过点(2, 1, 3)且与已知直线垂直的平面的方程： 3(x-2)+3(y-1)-(z-3)=0, 已知直线的参数方程为 , 代入平面方程解得t=, 代入直线的参数方程得交点 , 所求直线的一个方向向量：= 所求直线的方程为： 另解：已知直线过点N(-1, 1, 0), 方向向量=(3, 2, -1) 所求直线的一个方向向量为： 1=[]×==[(3, 0,3)×(3,2,-1)]×(3,2,-1)=-12(2,-1,4) 所求直线的方程为： 7.P100. 5 求曲线y2=2mx, z2=m-x在点(x0, y0, z0)处的切线与法平面方程. 解:：，对x求导得, 即， 曲线在点(x0, y0, z0)处的一个切向量为： ， 故所求切线方程：， 法平面方程： 。 8.P79. 例4 设w=((x+y+z, xyz), (具有二阶连续偏导数，求及 解： 9.P82. 5. 设z=arctan(xy), 而y=ex, 求。 解：， 另解： z=arctan(xex), 10.P83. 9. 设, , F(u)为可导函数，证明： 。 证：， ∴ 即 . 11.P154. 6. 改变下列二次积分的次序： (1) 解：由图2-11(1)知 = (2) 解：由图2-11(2)知 ， =。 (3) 解：由图2-11(3)知 ， = (4) 解：由图2-11(4)知 =。 (5) 解