精选圆的例题[含详解].docVIP

【典型例题】 例1. 爆破时，导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点120m以外的安全区域。这个导火索的长度为18cm，那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全？ 分析：爆破时的安全区域是以爆破点为圆心，以120m为半径的圆的外部，如图所示： 解： ∴点导火索的人非常安全 例2. 已知梯形ABCD内接于⊙O，AB∥CD，⊙O的半径为4，AB＝6，CD＝2，求梯形ABCD的面积。 分析：要求梯形面积必须先求梯形的高，即弦AB、CD间距离，为此要构造直角三角形利用勾股定理求高。为了便于运用垂径定理，故作OE⊥CD于E，延长EO交AB于F，证OF⊥AB。 此题容易出现丢解的情况，要注意分情况讨论。 解：分两种情况讨论： （1）当弦AB、CD分别在圆心O的两侧时，如图（1）： 过O作OE⊥CD于E，延长EO交AB于F 连OC、OB，则CE＝DE ∵AB∥CD，OE⊥CD ∴OF⊥AB，即EF为梯形ABCD的高 在Rt△OEC中，∵EC＝1，OC＝4 （2）当弦AB、CD在圆心O的同侧时，如图（2）： 过O作OE⊥CD于E，交AB于F 以下证法同（1），略。 例3. 如图，已知AB为⊙O的直径，P是OB的中点，求tanC·tanD的值。 分析：为了求tanC·tanD的值，需要分别构造出含有∠C和∠D的两个直角三角形。而AB是直径，为我们寻找直角创造了条件。连BC、BD，则得到Rt△ACB和Rt△ADB。可以发现∠ACD＝∠ABD，∠ADC＝∠ABC，于是，可以把tanC·tanD转化为 解：连结BC、BD ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90° ∵∠ACD＝∠ABD，∠ADC＝∠ABC 作AE⊥CD于E，作BF⊥CD于F 则△AEC∽△ADB ∴AC·AD＝AE·AB 同理，BD·BC＝BF·AB ∵△APE∽△BPF ∵P为半径OB的中点 ∴tanC·tanD＝3 例4. 分析：由已知条件，等边△ABC可得60°角，根据圆的性质，可得∠ADB＝60°，利用截长补短的方法可得一个新的等边三角形，再证两个三角形全等，从而转移线段DC。 证明：延长DB至点E，使BE＝DC，连结AE ∵△ABC是等边三角形 ∴∠ACB＝∠ABC＝60°，AB＝AC ∴∠ADB＝∠ACB＝60° ∵四边形ABDC是圆内接四边形 ∴∠ABE＝∠ACD 在△AEB和△ADC中， ∴AE＝AD ∵∠ADB＝60° ∴△AED是等边三角形 ∴AD＝DE＝DB＋BE ∵BE＝DC ∴DB＋DC＝DA 说明：本例也可以用其他方法证明。如： （1）延长DC至F，使CF＝BD，连结AF，再证△ACF≌△ABD，得出AD＝DF，从而DB＋CD＝DA。 （2）在DA上截取DG＝DC，连结CG，再证△BDC≌△AGC，得出BD＝AG，从而DB＋CD＝DA。 例5. 如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD＝DC，分别延长BA、CD交于点E，BF⊥EC交EC的延长线于F，若EA＝AO，BC＝12，求CF的长。 分析：在Rt△CFB中，已知BC＝12，求CF，故可寻找与之相似的直角三角形，列比例式求解。 解：连结OD，BD ∴∠ABC＝∠AOD ∴OD∥BC ∵EA＝AO，∴EA＝AO＝BO ∴AB＝16，BE＝24 ∵四边形ABCD内接于⊙O ∴∠EDA＝∠EBC ∵∠E是公共角 ∴△EDA∽△EBC 设AD＝DC＝x，ED＝y，则有 ∵AB为⊙O的直径 ∴∠ADB＝∠F＝90° 又∠DAB＝∠FCB ∴Rt△ADB∽Rt△CFB 说明：与圆有关的问题，大都与相似三角形联系在一起。 此题运用了两次相似三角形，找到线段之间的关系，并且运用了方程的思想解几何问题，这是解几何问题的一种重要方法。 例6. 如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分