3.5等比数列前n项和（一）.pptVIP

3.5 等比数列的前n项和(一） 1. 等比数列的定义： 解决关于国际象棋的传说问题： 也就是求数列： 1，2，4，8，· · · ，263 的和. S 64 = 1 + 2 + 4 + 8 + · · · + 263 ①. 两边同时乘以等比数列的公比 2 ， 2 S 64 = 2 + 4 + 8 + 16 + · · · + 263 +264 ②. 比较这两个式子： ② - ① 得， S 64 = 264 –1 . 264 –1 ? 1.84×1019（粒），假定千粒重为40g，那么麦粒的总重量约为7378.7亿吨，若铺在地球表面上，可以得出一个麦粒层，厚度约为9毫米．国王是拿不出这么多麦子的. 等比数列的前 n 项和公式 设有等比数列 a 1 ，a 2 ，a 3 ，· · · ，a n ，· · · . 它的公比是 q ，它的前 n 项和为 S n = a 1 + a 2 + a 3 + · · · + a n . 由等比数列的通项公式，上式可以写成： S n = a 1+ a 1q+ a 1q 2+ · · · + a 1q n –2+ a 1q n –1 ① 两边同时乘以公比 q， q S n = a 1q+ a 1q 2+ · · · + a 1q n –2+ a 1q n –1 +a 1q n ② ① - ② 得， ( 1 - q ) S n = a 1 – a 1 q n . 注：（1）当已知 a 1，q，n 时用第一个公式，当已知 a 1，q，a n 时用第二个公式 . （2）如果公比 q 是一个字母，在求和时要对公比是否为 1 进行讨论. （3）要把公式记准，通项公式 a n 中，q 的指数是 n -1，前 n 项和公式 S n 中， q 的指数是 n . （4）可以用等比数列前 n 项和公式解决关于国际象棋的传说问题， 因为 a 1 = 1 ，q = 2 ，n = 64 ，所以， （三）例 题 解 析 例1 已知等比数列 (1)求前8项之和． (2)求第5项到第10项的和． (3)求此数列前2n项中所有偶数项的和． 分析： 例1 已知等比数列 (2)求第5项到第10项的和． 解： 确定 但首项是 例1 已知等比数列 (3)求此数列前2n项中所有偶数项的和． 解：(3)确定项数为n，公比为 首项为 例3 等比数列{an}中，S2=7,S6=91,求S4． 解：由题设有 (2)÷(1)得： 解得 (舍去)． 将q2=3代人(1)得 当q=1时，不满足上面条件， 说明： (1)前面在等比数列一节中，已经分析了在等比数列解题中的运算特点，在本节牵涉到和的运算中，仍要注意消元方法； (2)另外在和的运算中，还要注意整体意 识，即将 作为一整体求解； (3)另外还要注意：套用求和公式时是在q≠1的时候成立的，要注意讨论 q是否能为1． 练 习 1. 教科书 练习 1、2． 2.辨析下面证法： 已知数列{an}是等比数列，Sn是前n项和，证明：S7, S14-S7, S21-S14成等比数列． 证明: 评析: 套用求和公式时是在q≠1的时候成立的，要注意讨论q是否能为l．所以,上面的证明是在q≠1的时候成立,当q=1时,S7=7a1,S14=14a1,S21=21a1,…可证之. 所以对公比q为字母时一定要有讨论意识． 小 结 1.等比数列前n项和公式 2.熟悉并应用公式，要掌握好错位相减法． 作业 1．教科书 习题3.5 1，2，5． 2．思考题： 回忆等差数列中性质：Sn为等差数列的前n项和，则 ……会成新的等差数列． 类比到等比数列中来： 一定会组成新的等比数列吗?你能用此思路找到解例题3的另外解法吗? * * 定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它 的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就 叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公 比通常用字母 q 来表示. 等比数列的通项公式： a n = a 1 q n –1