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第八章 假 设 检 验 理工大学理学院数理系计算数学教研室田作威 在本章中，我们将讨论不同于参数估计的另一类重要的统计推断问题. 这就是根据样本的信息检验关于总体的某个假设是否正确. 假设检验 参数假设检验 非参数假设检验 这类问题称作假设检验问题 . 总体分布已知， 检验关于未知参数 的某个假设 总体分布未知时的 假设检验问题 让我们先看一个例子. 这一讲我们讨论对参数的假设检验 . §1 假 设 检 验 某工厂生产10欧姆的电阻，根据以往生产的电阻实际情况，可以认为其电阻值X～N(? , ? 2)，标准差? =0.1。现在随机抽取10个电阻,测得它们的电阻值为: 9.9, 10.1, 10.2, 9.7, 9.9, 9.9, 10, 10.5, 10.1, 10.2. 试问从这些样本，我们能否认为该厂生产的电阻的平均值?为10欧姆? 例1 一、引例 确定总体:记X为该厂生产电阻的测量值.根据假设,X ～ N(? , ? 2)，这里? =0.1. 明确任务: 通过样本推断X的均值?是否等于10欧姆. 假设(Hypothesis):上面的任务就是要通过样本去检验“X的均值? =10”这样一个假设是否成立.在数理统计中把“X的均值? =10”这样一个待检验的假设问题记作“H0: ? =10”，称为 “原假设”或 “零假设”。 二、问题的建立 原假设的对立面是“X的均值? ≠10” 记作“H1: ? ≠10”，一般称为“对立假设”或“备择假设”.把它们合写在一起就是: H0: ? =10， H1: ? ≠10。 三、解决问题的思路 的大小可以用来检验原假设是否成立。 应该比较小。反之，如果它过于大,那么想必是原假设不成立。所以 因为样本均值是?的一个良好估计，所以如果? =10,即原假设成立的话,那么 这里的问题是,我们如何确定常数c呢？ 合理的思路是找出一个界限c，使得：　　 时,我们就接受原假设H0 , 当 当 时,我们就拒绝原假设H0 . 因为 所以 当原假设 H0: ? =10 成立时, 为确定常数c,现在我们考虑一个相当小的正数?，例如? =0.05，于是,当原假设H0: ? =10 成立时,有: 即： 取：　 得检验准则如下: 时,我们就接受原假设H0 , 当 当 时,我们就拒绝原假设H0 . 称为检验统计量； 称为该检验问题的拒绝域。 用以上的检验准则处理例1如下: 所以接受原假设 H0: ? =10. 因为： 我们的原假设是 H0: ? =10。由上面的分析,当H0成立时,有: 因为?相当小，这就是说，如果H0这个假设是正确的话,则检验统计量落入拒绝域就是一个发生概率很小的事件. 实际推断原理告诉我们:小概率事件在一次试验中几乎是不会发生的. 四、基本思想 那么如果小概率事件发生了,即事件: 带概率性质的反证法 发生了，我们就拒绝H0,即:“H0不成立”. 通常的反证法设定一个假设以后,如果出现的事实与之矛盾，则绝对地否定假设. 带概率性质的反证法的逻辑是:假设H0是正确的,若出现一个与H0矛盾且概率很小的事件,则以很大的把握否定假设H0. 因为检验一个H0时是根据检验统计量来判定是否接受H0的,而检验统计量是随机变量,这就有可能判定错误.这种错误有以下两类: 五、两类错误与显著性水平 H0事实上是正确的,但被我们拒绝了,此时称犯了“弃真”的(或第一类)错误. H0事实上是不正确的,但被我们接受了,此时称犯了“取伪”的(或第二类)错误. 两类错误 第二类错误 正确 接受H0 正确 第一类错误 拒绝H0 H0不真 H0为真 决定 实际情况 P{拒绝H0|H0为真}= , P{接受H0|H0不真}= . 犯两类错误的概率: 由于检验统计量的随机性,所以无论犯以上哪类错误都有一定的概率.当样本容量n固定,犯两类错误的概率就不能同时被控制. 在统计学中,通常控制犯第一类错误的概率.此时的检验称为显著性检验.一般事先选定一个数?(0 ? 1),使得犯第一类错误的概率≤? . 称?为假设检验的显著性水平. 一般把?限定在一个比较小的值，这样,如果H0是正确的,检验统计量落入拒绝域就是一个小概率事件.