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课 题：3.4 等比数列（二） 教学目的： 1.灵活应用等比数列的定义及通项公式. 2.深刻理解等比中项概念. 3.熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法 教学重点：等比中项的理解与应用 教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 首先回忆一下上一节课所学主要内容： 1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：=q（q≠0） 2.等比数列的通项公式: ， 3．｛｝成等比数列=q（,q≠0） “≠0”是数列｛｝成等比数列的必要非充分条件 4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列． 二、讲解新课： 1．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项. 即G=±（a,b同号） 如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则， 反之，若G=ab,则，即a,G,b成等比数列 ∴a,G,b成等比数列G=ab（a·b≠0） 2．等比数列的性质：若m+n=p+k，则 在等比数列中，m+n=p+q，有什么关系呢？ 由定义得： ， 则 3．判断等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法 4．等比数列的增减性：当q1, 0或0q1, 0时, {}是递增数列;当q1, 0,或0q1, 0时, {}是递减数列;当q=1时, {}是常数列;当q0时, {}是摆动数列; 三、例题讲解 例1 已知：b是a与c的等比中项，且a、b、c同号， 求证： 也成等比数列 证明：由题设：b2=ac 得： ∴ 也成等比数列 例2 已知是项数相同的等比数列，求证是等比数列. 证明：设数列的首项是，公比为;的首项为，公比为，那么数列的第n项与第n+1项分别为： 它是一个与n无关的常数，所以是一个以q1q2为公比的等比数列. 例3 (1) 已知{}是等比数列，且, 求 (2) a≠c,三数a, 1, c成等差数列，成等比数列，求 解：(1) ∵{}是等比数列， ∴ ＋2＋＝(＋)＝25, 又0, ∴＋＝5; (2) ∵a, 1, c成等差数列, ∴ a＋c＝2, 又a, 1, c成等比数列, ∴a c＝1, 有ac＝1或ac＝－1, 当ac＝1时, 由a＋c＝2得a＝1, c＝1,与a≠c矛盾， ∴ ac＝－1, ∴ . 例4 已知无穷数列， 求证：（1）这个数列成等比数列 （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的， （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中 证：（1）（常数）∴该数列成等比数列 （2），即： （3），∵，∴ ∴且， ∴，（第项） 例5 设均为非零实数，， 求证：成等比数列且公比为 证一：关于的二次方程有实根， ∴，∴ 则必有：，即，∴成等比数列 设公比为，则，代入 ∵，即，即 证二：∵ ∴ ∴，∴，且 ∵非零，∴ 四、练习： 1．求与的等差中项； 解：(＋)＝5; 2．求a＋ab与b＋ab的等比中项 解：±＝±ab(a＋b). 五、小结 本节课学习了以下内容： 1．若a，G，b成等比数列，则叫做与的等经中项. 2．若m+n=p+q， 3．判断一个数列是否成等比数列的方法：定义法，中项法，通项公式法 六、课后作业： 1、在等比数列，已知，，求 解：∵，∴ 2、在等比数列中，，求该数列前七项之积 解： ∵， ∴前七项之积 3、在等比数列中，，，求， 解： 另解：∵是与的等比中项，∴ ∴ 七、板书设计（略） 八、课后记： 高中数学教案 第三章 数列（第8课时） 刘军成 襄阳四中 第 1页（共5页）