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课 题：3.3 等差数列的前n项和（二） 教学目的： 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式. 2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题. 教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式 教学难点：灵活应用求和公式解决问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析?? ?本节是在集合与简易逻辑之后学习的，映射概念本身就属于集合的 教学过程： 一、复习引入： 首先回忆一下上一节课所学主要内容： 1.等差数列的前项和公式1： 2.等差数列的前项和公式2： 3.，当d≠0，是一个常数项为零的二次式 4.对等差数列前项和的最值问题有两种方法: 利用: 当0，d0，n项和有最大值可由≥0，且≤0，求得n的值 当0，d0，n项和有最小值可由≤0，且≥0，求得n的值 利用：由二次函数配方法求得最值时n的值 二、例题讲解 例1 .求集合M={m|m=2n－1,n∈N*,且m＜60}的元素个数及这些元素的和. 解：由2n－1＜60,得n＜,又∵n∈N* ∴满足不等式n＜的正整数一共有30个. 即 集合M中一共有30个元素，可列为：1，3，5，7，9，…，59，组成一个以=1, =59,n=30的等差数列. ∵=,∴==900. 答案：集合M中一共有30个元素，其和为900. 例2.在小于100的正整数中共有多少个数能被3除余2，并求这些数的和 分析：满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,m∈N*} 解：分析题意可得满足条件的数属于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,n∈N*} 由3n+2＜100,得n＜32,且m∈N*, ∴n可取0，1，2，3，…，32. 即 在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2. 把这些数从小到大排列出来就是：2，5，8，…，98. 它们可组成一个以=2,d=3, =98,n=33的等差数列. 由=,得==1650. 答：在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2，这些数的和是1650. 例3已知数列是等差数列，是其前n项和， 求证：⑴，-，-成等差数列； ⑵设 （）成等差数列 证明：设首项是，公差为d 则 ∵ ∵∴ 是以36d为公差的等差数列 同理可得是以d为公差的等差数列. 三、练习： 1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式. 分析：将已知条件转化为数学语言，然后再解. 解：根据题意，得=24, －=27 则设等差数列首项为,公差为d, 则 解之得： ∴=3+2（n－1）=2n+1. 2．两个数列1, , , ……,, 5和1, , , ……,, 5均成等差数列公差分别是, , 求与的值 解：5＝1＋8, ＝, 又5＝1＋7, ＝, ∴＝; ++……+＝7＝7×＝21, ++ ……+＝3×(1＋5)＝18, ∴ ＝. 3．在等差数列{}中, ＝－15, 公差d＝3, 求数列{}的前n项和的最小值 解法1：∵＝＋3d, ∴ －15＝＋9, ＝－24, ∴ ＝－24n＋＝[(n－)－], ∴ 当|n－|最小时，最小， 即当n＝8或n＝9时，＝＝－108最小. 解法2：由已知解得＝－24, d＝3, ＝－24＋3(n－1), 由≤0得n≤9且＝0, ∴当n＝8或n＝9时，＝＝－108最小. 四、小结 本节课学习了以下内容：是等差数列，是其前n项和，则 （）仍成等差数列 五、课后作业： 1．一凸n边形各内角的度数成等差数列，公差是10°,最小内角为100°,求边数n. 解：由(n－2)·180＝100n＋×10， 求得n－17n＋72＝0, n＝8或n＝9, 当n＝9时, 最大内角100＋(9－1)×10＝180°不合题意，舍去，∴ n＝8. 2．已知非常数等差数列{}的前n项和满足 (n∈N, m∈R), 求数列{}的前n项和. 解：由题设知 ＝lg()＝lgm＋nlg3＋lg2, 即 ＝[]n＋(lg3＋)n＋lgm, ∵ {}是非常数等差数列，当d≠0，是一个常数项为零的二次式 ∴≠0且lgm＝0, ∴ m＝－1, ∴ ＝(－lg2)n＋(lg3－lg2)n, 则 当n=1时，＝ 当n≥2时,＝－＝(－lg2)(2n－1)＋(lg3－lg2) ＝ ∴＝ d== = = 数列{}是以=为首项,5d=为公差的等差数列， ∴数列{}的前n项和为 n·()＋n(n－1)·()＝ 3．一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:27，求公差d. 解：设这个数列的首项为, 公差