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量子力学辅导 一、状态和波函数 二、一维势场中的粒子 三、力学量和算符 四、对易关系与表象变换 五、三维定态问题 六、近似方法 七、自旋与角动量 八、全同粒子 九、带电粒子在电磁场中的运动 十、散射问题 一、状态和波函数 （1）微观粒子的状态由波函数 完全描述。 概率密度 粒子处在 体积元的概率 已知 （坐标表象的表示），可得其 表象的表示。 （2）态的叠加原理 设 是体系可能实现的态，则它们的线性叠加 也是体系可能实现的态。 （3）波函数随时间的变化规律由薛定谔方程给出 当势场 不显含时间时，其解是定态解 满足定态薛定谔方程 定态薛定谔方程即能量算符的本征方程 所谓定态即能量的本征态 （4）波函数的归一化条件 描述同一态 波函数常数因子和相位因子不定性 （5）波函数一般应满足三个基本条件:单值 连续 有限 （6）连续方程 典型例题 1、根据S-eq解题 量子力学描述方式的最大特点是微观体系的运动状态用波函数完全描述。波函数是几率振幅，寻求波函数是QM的最为重要的任务。求解波函数满足的S.eq是获得波函数的基本途径。求解时要充分认识边界条件（包括衔接条件）的重要性。 （1）证明：具有不同能量的两个束缚态，其波函数正交。 证明：令 分别对应能量 ， ；结论与势能的 具体形式无关，第一选择是从S.eq出发。 并对空间积分 因为束缚态边界条件是 由于 ，则有 即 正交 （2）质量为 的粒子处于能量为 的本征态，波函数为 已知 ，求能量 和势能函数 。 解：属于直接应用S.eq解题的例子。 2、利用连接条件定能级 定态问题中常见的一类问题是确定粒子的能量，一般方法是求解S.eq，然后利用边界条件和连接条件确定能量本征值。常见情况如下： （1）束缚态中，粒子局限于有限范围内运动，因此无 限远处波函数为零； （2）势能无限大处，有限能量的粒子不能逾越，波函 数为零； （3）势能有限跃变处，波函数及其导数均连续； （4）对于 势，波函数本身连续，其导数有跃变。 例题 粒子在势场 中运动（ ）。求至少存在一个束缚态的条件。 解：显然，在 处， ；在 区域，由S.eq知 利用边界条件 ，得 在 区域，解为 对于束缚态 ，由此得 于是可得 在 处，势能存在有限跃变，则波函数及其导数均连续，或波函数之对数的导数连续， 由此得 又有 令 此方程有一个解的条件（存在一个束缚态的条件） 3、节点法 节点即波函数的零点，用节点法解题的依据是节点定理：对于一维束缚态，在基本区域内（不含边界点）基态无节点，第n个激发态有n个节点。对于多维情况，由于经常存在对称性，因而可以化为等效的一维问题。该定理的适用范围非常广，可以用来确定波函数零点、判定量子数、排列能级顺序、判定能量本征值等。 （1）今有两个波函数 它们