第五章特征值问题课件.pptVIP

解： 由 ，即 得 的三个特征值为 首先求特征值。 当 时，解方程组 ，由 接着求特征向量。 得基础解系 规范化（单位化），得 当 时，解方程组 ，由 解得 令 得基础解系 然后进行施密特正交化，得 最后规范化（单位化），得 所以令 则有 这里由于 是正交阵，其逆就是转置矩阵，所以我们避免了运算量大的、一般化的初等变换求逆。 % ex5302.m A=[1 2 2 ;2 1 2;2 2 1] [V ,D]=eig(A) 使用内置函数eig Q=gschmidt(V，1) %施密特正交化 Q‘*Q %判断Q是否正交矩阵 inv(Q)*A*Q %是否是对角矩阵D a=1/sqrt(6);b=1/sqrt(2); b1=[-a;-a;2*a];b2=[-b;b;0]; UC=rref([Q b1 b2]) Q = 0.6206 0.5306 0.5774 0.1492 -0.8027 0.5774 -0.7698 0.2722 0.5774 D = -1.0000 0 0 0 -1.0000 0 0 0 5.0000 计算结果是正确的，虽然Q的前两列与手算结果不同！ % ex5302.m（续） A=[1 2 2 ;2 1 2;2 2 1]; [V ,D]=eig(A) Q=orth(V) %使用内置函数orth将V的列单位正交化 %[Q,R]=qr(V) %使用内置函数qr,它实现了施密特正交化过程， %但采用了更稳定的算法 Q = -0.6206 0.5306 -0.5774 -0.1492 -0.8027 -0.5774 0.7698 0.2722 -0.5774 调用QR分解计算出的结果与前面一致！ 例3 将实对称矩阵 正交对角化，其中 解： 首先求特征值。 故 接着求特征向量。 对于 ，解 ， 有 得基础解系 然后进行施密特正交化，得 最后规范化（单位化），得 对于 ，解 ， 有 得基础解系 所以令 规范化（单位化），得 则有 这里由于 是正交阵，其逆就是转置矩阵，所以我们避免了运算量大的、一般化的初等变换求逆。 分析：本题是所谓特征值问题的逆问题，即求矩阵 ，使其具有预先给定的部分或全部特征值/特征向量。 例 4 已知 为三阶实对称矩阵 的特征对，并且 求 ： （1） ；（2）实对称矩阵 。 （1）因为 应与 正交，令 则 即 为齐次线性方程组 的非零解。 取 即可。 解此齐次线性方程组得基础解系 则 解法一：(利用可对角化矩阵的相似标准形分解) （2） 令 所以 由于三个特征值都是单根，不需要施密特正交化，因此分别将 单位化，得 解法二：（利用实对称矩阵的正交相似标准形分解） 令 所以 1、解法二用正交矩阵绕开了复杂的矩阵求逆，虽然可能带来比较复杂的施密特正交化，但总体来说变简单了。不过令人奇怪的是，此题中解法二中求出的矩阵与解法一完全相同，这是否是偶然？如果改变基础解系的取法，从而改变相似变换矩阵或正交变换矩阵的取法，结果是否还会相同？ 课后思考 2、我们知道,一般矩阵有标准形分解 如果可逆阵 特殊化为正交阵 ，那么标准形 一般化为什么矩阵呢？其对角元又是什么呢？ 补充1：实矩阵的复特征值问题 一般的实矩阵 可能会有复特征对 。这时，可以证明： 也是 的复特征对。 另外，可以证明，如果 是具有共轭复特征对 的二阶实矩阵，那么此时此矩阵的谱分解为 还有，由于 因此