第一章偏微分方程概述2014课件.pptVIP

学科基础导论 曹阳 Email:caoyang@cqupt.edu.cn Phone:学科基础导论 第 一 篇 数学物理方程 目 录 第一章 偏微分方程概述 第二章 波动方程 第三章 热传导方程 *第四章 调和方程 * 2014 年 秋 集成电路工程大类 数学物理方程 量子力学 热力学与统计物理 第一章 偏微分方程概述 一、什么是数学物理方程？ 偏微分方程：含有两个或两个以上自变量和未知函数以及未知函数的偏导数的关系式，与常微分方程相对应。 从物理、力学等实际问题中产生的函数方程，主要是偏微分方程或积分方程。 思考：指出下述微分方程的类型及阶数？ 偏微分方程的阶：方程中所含偏导数的最高阶阶数。 线性偏微分方程：一个偏微分方程对于未知函数以及它的各阶偏导数都是线性(一次）的。 非线性偏微分方程：不是线性的偏微分方程。 二、偏微分方程的解 如存在函数具有方程所需要的各阶连续偏导数, 且将它代入方程时能使方程成为恒等式, 则称该函数为方程的解。 思考：下述偏微分方程是线性还是非线性？ 例如 三、偏微分方程的研究方法 1、将物理问题归结为数学上的定解问题； 2、求解定解问题； 3、对求得的解给出物理解释。 四、偏微分方程的研究内容－适定性的概念 1、存在性 2、唯一性 3、稳定性 如果一个定解问题的解是存在的、唯一的，而且是稳定的，则称该定解问题是适定的。 五、微分方程的重要作用 可以说有了微积分，就有了微分方程（微积分是17世纪为了解决物理、力学、天体问题而产生的，而这些问题多为数学物理方程）。 1、导弹动力学弹道方程组 2、金融数学（金融工程期权定价模型） 3、流体力学海域潮流场模型（龙卷风、海啸模型） 微分方程在自然现象、军事科技和国民经济中发挥着重要的作用，例如： 六、二阶线性偏微分方程的分类 如果 则为齐次方程；否则为非齐次方程。 通过对独立变量的线性变换，方程可被简化为以下三种形式 这儿 代表了一阶项或0. （i）双曲型 例如 本学期（数学物理方程）学习的基本内容： 三类数理方程（波动方程、热传导方程和调和方程) 定解问题的 1 适定性 2 基本求解方法 3 解的性质等 （ii）抛物型 （iii）椭圆型 例如 例如 * * * *