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第4讲 连续势的集合、P进位表数法 目的：掌握连续势及其基本性质，了解连 续统假设；熟悉P进位表数法。 重点与难点：连续势的性质。 第4讲 连续势的集合、P进位表数法 证明：记 ，则 ， 且 显然是 与 之间的一个一一对应，故 。往证 ，若不然，存在 与 之间的一个一一对应，记为 ，则对任意 ， ，记 ，则 ，由于 第4讲 连续势的集合、P进位表数法 是一一对应，故存在 ，使 ，若 ，则 ，得到矛盾，若 ，即 ，则依 的定义，应有 ，再次得矛盾。由此可见 的确不能与 对等。证毕。 * * 一. 连续势的例 问题1：有限集或可数集的一切子集构 成的集具有大于该集的势，由 此我们可以作出何种猜测？ 第4讲 连续势的集合、P进位表数法 问题2：给定一个集合，如何构造 一个集合，使其具有比给 定集合更大的势? 第4讲 连续势的集合、P进位表数法 定理9（i）假设M是由两个元素 作成 的元素序列全体，则 。 （ii）若 是可数集，则 的子集全体所 构成的集合F有连续势。 第4讲 连续势的集合、P进位表数法 证明：如果我们将 对应到0， 对应到1，那么，排成的任何序列便对应到一个二进制表示的数。由此就有可能作出M与直线上子集间的一一对应。且体做法如下： 对任意 ，令 ，其中 时， ； 时， ，这样便建立了 到（0,1）内的一个对应关系，然而，和前面讨论 的势一样，这里也涉及到小数的表示法 第4讲 连续势的集合、P进位表数法 是否唯一的问题。在二进制中。0,100…也可以表为0.0111…1…因此，我们在这里也应作一规定，即小数表示排队仅有有限个不为零的情形。可是作了这种规定后，前面 的定义又出现了问题，假如序列 中只有有限个为 ，其余均为 ，则将 对应到只有有限位数不为零的小数。其实，克服这一困难并不难，我们可以从 中将这种情况暂时排除。即记， 第4讲 连续势的集合、P进位表数法 显然 是有限集，令 ，到 最 多可数，于是 ，只就 讨论的话， 便是 到（0,1）之间的一一对应关系，从而 。进一步 。 第4讲 连续势的集合、P进位表数法 （ii）的证明与（i）有些类似，由于 可数，故可设 ，对任意 ，令 ，其中当 时， ，否则 ，不难验证，只要象（i）那样去掉有限位数不为0的情况，便可知 建立了 （ 是 的可数子集）与（0,1）之间的一一对应关系，进而 。证毕。 第4讲 连续势的集合、P进位表数法 定理10 设 是一集合， 的一切子集 所构成的集合记作 ，则 。 第4讲 连续势的集合、P进位表数法 二．不存在最大势 定理10 说明不存在最大势。 第4讲 连续势的集合、P进位表数法 三．P进位表数法 问题3：回忆十进制表数法，除此以外，我