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第一节 外测度 一 .引言 达布上和与下和 2. 新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手） 二．Lebesgue外测度 2.Lebesgue外测度的性质 证明: (1)显然成立. 注：外测度的次可数可加性的等号即使A，B不交也可能不成立（反例要用不可测集），但有: 例: 三 零集 1. 零集的定义 例 设E是[0,1]中的全体有理数，试证明E的外测度为0 证明：由于E为可数集， 例：Cantor集的外测度为0。 2. 零集的性质 * * 第三章 测度理论 其中 积分与分割、介点集的取法无关 几何意义（非负函数）： 函数图象下方图形的面积。 xi-1 xi 1. Riemann积分回顾（分割定义域） Riemann积分 xi-1 xi 达布下和的极限 下积分（内填） xi-1 xi 达布上和的极限 上积分（外包） yi yi-1 用 mEi 表示 Ei 的“长度” 问题：如何把长度,面积,体积概念推广? 为E的Lebesgue外测度。 1. 定义： ，称非负广义实数 是非空的，因而定义有意义. （2）单调性： （3）次可数可加性 (1) (2): 因而 (3)：对任意的ε0,由外测度的定义知，对每个An都有 一列开区间（即用一开区间{I nm}列近似替换An） 注：一般证明都是 从大的一边开始， 因为外测度的定义 用的是下确界 由的ε任意性，即得 当区间Ii的直径很小时候，区间Ii不可能同时含有A， B中的点从而把区间列Ii分成两部分，一部分含有A 中的点，一部分含有B中的点。 若d(A,B) 0,则 证明参见教材p-56 思考：书本中的证明用有限开覆盖定理的目的何在？ 此例说明Lebesgue外测度某种程度是区间长度概念的推广 对任意区间 ，有 外测度等于零的集合称为零集. 证明： 再由ε的任意性知 ( )  2.平面上的x轴的外测度为0 思考： １. 设E是平面上的有理点全体，则E的外测度为0 证明：令第n次等分后留下的闭区间为 * *