材料成形基本原理第2版刘全坤主编(下)第十四章应变分析课件教学.pptVIP

第十四章??应变分析 主要内容 第一节 位移与应变 第二节 质点的应变状态和应变张量 第三节 小应变几何方程、应变连续方程 第四节 有限变形 第五节 塑性变形体积不变条件 第六节 速度分量、位移增量、应变速率张量 第七节 对数应变 第八节 平面问题和轴对称问题  小变形：物体在外力作用下产生变形，与本身几何尺寸相比 是非常小的量（ ～ ），这种变形称作小变形。 ?? 在小变形分析中，变形量的二次微量可以忽略。 ????? 塑性加工中产生的塑性变形是大变形，分析大变形需要采用增量理论和有限变形，但小变形分析比较简单直观，而且大变形分析可以直接借用小变形分析的结果， ???? 因此本章只讨论小变形分析 第一节 位移与应变 例如， M与相邻质点M’(x+dx, y+dy, z+dz)在变形中产生位移矢量 ，即 ，和M相比，产生了位移增量 ，或M与M’之间相对位置变化量。如果 ，两质点间没有相对位移，MM’没有产生变形，仅仅产生了刚体移动。 （1）在x,y,z方向上线元的长度发生改变，其线应变分别为 二、应变张量 ???? 与一点的三个互相垂直的微分面上9个应力分量决定该点的应力状态一样，质点的三个互相垂直方向上的9个应变分量确定了该点的应变状态。已知这九个应变分量，可以求出给定任意方向上的应变，这表明对应不同坐标系应变分量之间有确定的变换关系。 （3）在与主应变方向成45°方向上存在主切应变，其大小为 第三节 小应变几何方程、应变连续方程 一、小应变几何方程 同理可得另外两式，连同上式综合在一起可得 将上面的前两式相加后减去第三式，得 式（14-21）表明，在物体的三维空间内的三个切应变分量一经确定，则线应变分量也就确定。 ???? 式（14-19）和式（14-21）统称变形连续方程或应变协调方程。变形连续方程的物理意义表示：只有当应变分量之间满足一定的关系时，物体变形后才是连续的。否则，变形后会出现“撕裂”或“重叠”，变形体的连续性遭到破坏。 ?????? 同时还应指出，如果已知一点的位移分量ui，则由几何方程求得的应变分量εij自然满足连续方程。但如果先用其它方法求得应变分量，则只有满足上述应变连续方程，才能由几何方程求得正确的位移分量。 第四节 有限变形 单元体体积的变化（单位体积变化率） 在此，瞬时产生的变形当然可视为小变形，可以仿照小变形几何方程写出应变增量的几何方程，表示为 相应的应力平衡微分方程表示为 （14-47） （14-48） 参照式(14-16)，圆柱坐标系下的几何方程为 图14-10 轴对称应力状态 应力状态具有以下特点： 1）在 面上没有切应力， ，所以应力张量中只有四个独立的应力分量； 2）各应力分量与 坐标无关，对 的偏导数为零。 所以，用圆柱坐标表示轴对称应力状态的应力张量为 （14-49） 相应地，其应力平衡微分方程式为 (14-50) 在某些情况下，例如圆柱体在平砧间均匀镦粗、圆柱体坯料的均匀挤压和拉拔等，其径向应力和周向应力相等 ，这样，在式（14-47）的应力平衡微分方程式中，便只有三个独立的应力分量。 轴对称变形时，子午面始终保持平面， 向没有位移速度，位移分量 =0，各位移分量均与 无关，由此， ， 向成为应变主方向，这时，几何方程简化为 （14-51） 例 设一物体在变形过程中某一极短时间内的位移为 试求：点A(1，1，1) 与点B(0.5，-1，0) 的应变值。 解 由几何方程式（14-16）求得应变分量为 将点A的坐标值 (1，1，1)代入上式，得点A处的应变值 将点B的坐标值 (0.5，-1，0) 代入上式，得点B 处的应变值 前述在推导小应变几何方程时，假设位移及其导数是很小的，略去了二阶以上的量，推导出的方程都是非线性的，适用于小变形。但在实际的塑性加工时，往往都是变形量较大，属于有限变形。此时，应变与位移导数间不再是线性关系，平衡方程必须考虑变形前后坐标的差别。 连续体的有限变形有两种表述方法： 1、拉格朗日法，相对位移计算以变形前的坐标作为自变量 2、欧拉法， 相对位移计算以变形后的坐标作为自变量。 一、拉格朗日法分析有限变形的应变 a和b之间的相对位移ui沿ox、oy、oz轴的投影记为△u、△v、△w 设 变形前 线段ab，长为r，a点的坐标为xi，