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第五章 向量代数与空间解析几何 本章主要知识点 矢量运算 平面方程 直线方程 常见曲面及方程 第一节 向量代数 【主要考点】 理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，，会球单位向量‘方向余弦、向量在坐标轴 上的投影。 掌握向量的线性运算，、向量的数量积与向量积的计算方法。 掌握二向量平行、垂直的条件。 【考点精要】 一、空间直角坐标系 从空间某定点做三条互相垂直的数轴，都以为原点，有相同的长度单位，分别称 为轴，轴，轴，符合右手法则，这样就建立了空间直角坐标系，称为坐标原点。 两点间的=距离 设点，为空间两点，则这两点间的距离可以表示为 定比分点公式 是的分点：点的坐标为 则 当为中点时， 二、向量 1.向量的基本概念 向量的定义 既有大小，又有方向的概量，称为向量或矢量。 向量的模 向量的大小称为向量的模，用|a|表示向量的模。 单位向量 模为1的向量称为单位向量。 零向量 模为0的向量称为零向量，零向量的方向是任意的。 向量的相等 大小相等且方向相同的向量称为相等的向量。 自由向量 在空间任意地平行移动后不变的向量，称为自由向量。 向径 终点为P的向量称为点P的向径，记为。 2.向量的线性运算 （1）向量的加法 ①三角形法则 若将向量a 的终点与向量b的起点放在一起，则以a的起点为点， 以b的终点为中点的向量称为向量a与b的和向量，记为a+b。这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则。 ② 平行四边形法则 将两个向量a和b的起点放在一起，并以a和b为邻边作平行四边形，则从起点到对角顶点的向量称为a + b。这种求向量和的方法称为向量加法的平行四边形法则。 向量的加法满足下列运算律 交换律：a + b=b + a 结合律：（a + b） + c=a + (b + c) （2）向量与数的乘法运算 实数与向量a的乘积是一个向量，称为向量a与数的乘积，记作a，并且规定： ①|a|=|||a|; ②当0时，a与a的方向相同；当0时，a与a的方向相反; ③当=0时，a零向量。 设，都是实数，向量与数的乘法满足下列运算律： 结合律：（a）=（）a=（a） 分配律：（+）a=a+a ，（a + b） =a+a 向量的加法运算和向量与数的乘法运算统称为向量的线性运算。 （3）求与a同向的单位向量的方法 设向量a是一个非零向量，则与a同向的单位向量 (4)负向量 当= -1时，记（-1）a=-a，则-a与a的方向相反，模相等，-a称为向 量a的负向量。 （5）向量的减法 两向量的减法（即向量的差）规定为a – b= a +（-1）b 向量的减法也可以按三角形法则进行，只要把a与b的起点放在一起，a – b即是以b的终点为起点，以a的终点为终点的向量。 向量的坐标表示 基本单位向量i,j,k分别为与x轴，y轴，z轴同向的单位向量。 （2）向径的坐标表示 点P()的向径=或简记为 （3）的坐标表示 设以为起点，以为终点的向量 的坐标表达式为 （4）向量a=的模|a| 4.坐标表示下列向量的线性运算 设a=，b=,则有 a+ b= a-b= a=()= 4.向量的数量积 （1）定义 设向量a,b之间的夹角为，则|a| |b|为向量与的数量积，记作a﹒b,即a﹒b=|a||b|. 向量的数量积又称“点积”或“内积”. 向量的数量积还满足下列运算律: 交换律：a﹒b=b﹒a 分配律：(a+b)﹒ c =结合律：a﹒c+b﹒c 结合律：(a﹒b)=(a)﹒ b(其中为常数). （2）数量积的坐标表示. 设a=ai+aj+ak,则a﹒b=a+a+a. (3)向量a与b的夹角余弦 设a=ai+aj+ak, b=bi+bj+bk ,则 向量的方向余弦 设向量a=ai+aj+ak与轴，轴，轴的正向夹角分别为 称其为向量a的三个方向角，并称为a的方向余弦，向量a的方向余弦的坐标表示为 且 5. 向量的数量积 （1）定义 两个向量a与b的向量积是一个向量，记作ab,它的模和方向分别规定如下： ab=|a| |b| 其中是向量a与b的夹角； ab的方向为既垂直a又垂直于b，并且按顺序a, b, ab符合右手法则. 向量的向量积满足如下运算律. 反交换律：ab=-ba; 分配律：（a+b）c+bc; 结合律：（ab）=(a)b+ab)(其中为常数). 向量积得坐标表示 设a=ai+aj+ak，b=bi+bj+bk ,则 a×b=()i-()j-()k 可将