1.3方阵的行列式讲述.pptVIP

第1行的k倍加到第2行 记为 ②+ k ① ②+ k ① 第1列的k倍加到第2列 记为 在计算行列式时，我们常常利用性质将一个行列式化成三角形（上或下）行列式，以方便计算。 这是行列式计算的一个最基本的方法 把行列式化成三角行列式是最常用的一个基本计算方法. 整个过程围绕一个鮮明的目的： 化行列式为上三角行列式 =－9 定理 1.1 设 n 阶矩阵 A = ( aij )，则 (1) A 的第 i 行元与第 k 行( k ? i )元的代数余子 式的乘积之和等于零，即 (2) A 的第 j 列元与第 l 列( l ? j )元的代数余子 式的乘积之和等于零，即 定理 1.2 设 n 阶矩阵 A = ( aij )，则 定理 1.3 设 A， B 均为 n 阶矩阵，则有 detAB = detA ? detB . det( A1 A2 … At ) = det( A1) ? det( A2) ? … ? det( At) 四、行列式的计算 例 9 计算 n 阶行列式 (其中ai均不为零) 例 10 计算 n 阶行列式 “列(行)和相等”的行列式是一个易化为三角形行列式的行列式. 例 11 计算 n 阶( n 1 )行列式 称为n阶的范德蒙(Vandermonde)行列式 行列式 =(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3) =12 五、拉普拉斯（Laplace）定理 第三节 方阵的行列式 二阶行列式 n 阶行列式定义 行列式的性质 行列式的计算 *拉普拉斯（Laplace）定理 一、二阶行列式 考虑二元线性方程组 (1.1) 若令 则该方程组可表为矩阵方程的形式 AX = B 其中 A 称为方程组 的系数矩阵. 对于 (1.1) 用加减消元法，得 当 a11a22 – a12a21 ? 0 时， 得到方程组 (1.1) 的唯一解 为了记忆该公式，我们定义 并称之为矩阵 的行列式 记作 detA, 或｜A｜ 两者区别 其中 称为行列式的元素， detA =｜A｜= 所在的位置称为主对角线, 所在的位置称为次(副)对角线. 主对角线 副对角线 上述二阶行列式的计算 －－－ 对角线法则 例1 例2 如果记 则 detB1 = b1a22 – b2a12 , detB2 = b2a11 – b1a21 从而上述唯一解可记为 例3 解 二、n 阶行列式的定义 对于一阶方阵 A = ( a11 ) = a11 ,定义 detA def a11 即由一个数组成的一阶方阵, 它的行列式就是这个数本身. 注意：不要将1阶行列式与绝对值混淆. 1. 余子式和代数余子式 定义设 A = ( aij ) 是数域 F 上的 n 阶矩阵，划去 A 的元 aij 所在的第 i 行、第 j 列的元，A 中剩下 的 ( n – 1 )2 个元按原来的排列顺序组成的 n – 1 阶 矩阵的行列式，称为元 aij 的余子式，记作 Mij . Aij = ( - 1 )i + j Mij 称 Aij 为元 aij 的代数余子式 ( i, j = 1, 2, … , n ) . 例如 2. n 阶行列式的定义 即,二阶行列式的值等于其第一行元素 与其对应的代数余子式乘积的和. 同样,对于第二行 …… 于是,二阶行列式的值等于其任意一行元素与其对应的代数余子式乘积的和. 对于三阶行列式, 我们可以用同样方法得到, 三阶行列式的值等于其任意一行元素与其对应的代数余子式的乘积的和. 推广定义 1.8 n 阶矩阵 A = ( aij ) 的行列式 detA (简称为 n 阶行列式 detA)，定义为 detA def ai1Ai1+ ai2Ai2 + … + ainAin = (1.2) 式 (1.2) 中 Ai1 , Ai2 , … , Ain 是 A 的第 i 行各元的代数余子式 (1 ? i ? n) . 式 (1.2) 也称为 detA 按第 i 行的展开式. 我们发现如此计算行列式在高阶时将会很复杂， 但下面例子说明在某一行（列）仅含有一个非零 元素的高阶行列式按此行（列）展开会很方便！ 按第5列展开 =－10A11 =-1080 例 6 计算下三角形行列式 = a11a22…ann . 上三角形行列式 下三角行列式和上三角行列式的值都等于主对角线 上元素的乘积。 三、行列式性质 性质1 行列式和其转置行列式的值相等,即 由性质1 行列式的行具有的性质， 它的列也具有同样的性质。 性质2 交换行列式的两行或两列,行列式