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对“月上柳梢头”的数学模型分析 　　摘 要： 研究2015年全国大学生数学建模竞赛C 题，首先定义“ 月上柳梢头” 时月亮在空中的角度和什么时间称为“黄昏后”，建立数学模型，用Mathematica软件编程，计算出结果;其次又建立模型，分析2016年北京地区“ 月上柳梢头，人约黄昏后” 发生的日期与时间以及其他纬度地区能看到此景的日期与时间。计算数据表明，此情景主要发生在中纬度地区，高纬度地区一般少发生。 　　关键词： 数学建模;天体运动模型; 天文学; 高度角 　　文献标识码： A 文章编号：2015 　　太阳，地球，月球是一个复杂的运动系统，在适当简化的基础上，根据现有的天文学知识，建立数学模型描述三者相互运动规律。对“月上柳梢头，人约黄昏后”的诗句进行天文学及数学上的解读――定义两者高度角，力图预测出“此情此景”再现的时间与地点，为建立人文知识与现代科学知识之间的互通互融，做一次有意义的尝试。 　　一、建模题目[1] 　　“月上柳梢头，人约黄昏后”是北宋学者欧阳修的名句，写的是与佳人相约的情景。请用天文学的观点赏析该名句，并进行如下的讨论： 　　（1）定义“月上柳梢头”时月亮在空中的角度和什么时间称为“黄昏后”。根据天文学的基本知识，在适当简化的基础上，建立数学模型，分别确定“月上柳梢头”和“人约黄昏后”发生的日期与时间。并根据已有的天文资料（如太阳和月亮在天空中的位置、日出日没时刻、月出月没时刻）验证所建模型的合理性。 　　（2）根据所建立的模型，分析2016年北京地区“月上柳梢头，人约黄昏后”发生的日期与时间。根据模型判断2016年在哈尔滨、上海、广州、昆明、成都、乌鲁木齐是否能发生这一情景？如果能，请给出相应的日期与时间;如果不能，请给出原因。 　　二、模型假设与符号说明 　　1.模型假设 　　（1） 假设以地球为运动参照系（地球不动）; 　　（2）假设太阳相对地球作圆周运动，如图1示; 　　（3）假设月球相对地球作圆周运动，如图1示; 　　（4）假设各地点海拔一样（忽略海拔）; 　　（5） 假设月球对地球的赤纬角不变（取实际变化的平均）; 　　（6） 假设地球大气层对光线没有影响。 　　2.符号说明 　　θ1―月对地相对转角（时角）; 　　θ2―日对地相对转角（时角）; 　　h1―月球高度角; 　　h2―太阳高度角; 　　ψ1―月球方位角; 　　ψ2―太阳方位角; 　　t―从某开始时间到另一结止时间的时长（小时）; 　　α1，α2―某一地点某一时刻月亮，太阳的初始转角（时角）; 　　―目标点纬度。 　　三、 模型建立与求解 　　1.定义说明 　　（1）高度角h1，h2：目标点处的视线与地平面夹角[2]; 　　（2）方位角ψ：目标点处的视线在地平面上的投影与东西线夹角（注：天文学上定义为正南为0，向东为负，向西为正）①; 　　（3）“月上柳梢头”定义为月球高度角h1=40°±5°; 　　（4）“黄昏后”定义为太阳高度角h2=-15°±5°。 　　 　　其中h1与θ1，h2与θ2角度关系与目标点纬度有关，具体计算在下文中给出，图2为简化示意图。 　　 　　2.建立转角及高度角函数θ（t） 　　（1）月球运行函数 　　 　　注：月球的赤纬角在0到18.3度之间，取平均约为π20弧度 　　 　　δ=0.3723+23.2567Sinθ+0.1149Sin2θ-0.1712Sin3θ-0.758Cosθ+0.3656Cos2θ+0.0201Cos3θ（单位为度） 　　 　　上式中， N-N0=当年的累计天。 　　（3）“月上柳梢头”月球高度角条件：35≤h1≤45 　　（4） “黄昏后”太阳高度角条件：-10≤h2≤20 　　（5）时间条件：在下午18：00以后，20：30之前。 　　3.模型求解 　　（1） 问题1求解 　　以故事的发生地开封（114.3，34.8）为例，给出2015年8月25日 6：00开始（这天为农历正月初一，按农历历法，这一天月球近似在太阳与地球的连线上，月球的时角与太阳的时角相同，方便确定初始转角）50天内，符合“月上柳梢头”定义的日期及时间集合，用Mathematica编程，计算出日期与时间如下表： 　　 　　查询有关天文数据表中数据基本已发生的事实吻合，区别是第5行数据，对应的是2014年农历八月十五晚8点，是中秋佳节，诗中的情景发生在元宵节，应该是一次情景再现。 　　修改程序中的高度角过滤条件改为±0.5度，并减小步长到6分钟，可以列出一些城市的日出日没、月出月没近似时刻。Mathematics程序计算部分结果如下表2： 　　 　　经查询，