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第十章 插值和拟合 §2 曲线拟合的线性最小二乘法 2.1 线性最小二乘法 线性最小二乘法是解决曲线拟合最常用的方法，基本思路是，令 其中rk (x) 是事先选定的一组线性无关的函数， ak 是待定系数(k = 1,2,…,m, m n) 。 拟合准则是使 yi ，i = 1,2,…,n ，与f(xi) 的距离δi的平方和最小，称为最小二乘准则 得到 利用初等函数的性质，和微积分的知识，通过对原始数据做散点图的方式可直观地选取合适的函数 * 1.1拉格朗日多项式插值 1.2牛顿插值 令 记 高次多项式插值的Runge现象，如Ln（x），n越大插值效果越差 等距插值 n=5,10,20,50时的插值情形 1.3分段线性插值 x=0:.12:1; y=(x.^2-3*x+5).*exp(-5*x).*sin(x); plot(x,y,x,y,o) x1=0:.02:1; y0=(x1.^2-3*x1+5).*exp(-5*x1).*sin(x1); y1=interp1(x,y,x1); y2=interp1(x,y,x1,cubic); y3=interp1(x,y,x1,spline); y4=interp1(x,y,x1,nearest); plot(x1,[y1,y2,y3,y4],:,x,y,o,x1,y0) 例如 如果对插值函数，不仅要求它在节点处与函数同值，而且要求它与函数有相同的一阶、二阶甚至更高阶的导数值，这就是Hermite 插值问题。 Hermite 插值多项式为 用Matlab 实现Hermite 插值（Matlab没有现成的函数） 设n 个节点的数据以数组x0 （已知点的横坐标）， y0 （函数值）， y1（导数值）输入（注意Matlab 的数组下标从1 开始），m 个插值点以数组x 输入，输出数组y 为m个插值。编写一个名为hermite.m 的M 文件 function y=hermite(x0,y0,y1,x); n=length(x0);m=length(x); for k=1:m yy=0.0; for i=1:n h=1.0; a=0.0; for j=1:n if j~=i h=h*((x(k)-x0(j))/(x0(i)-x0(j)))^2; a=1/(x0(i)-x0(j))+a; end end yy=yy+h*((x0(i)-x(k))*(2*a*y0(i)-y1(i))+y0(i)); end y(k)=yy; end 1.5 样条插值 1.5.1 样条函数的概念 数学上将具有一定光滑性的分段多项式称为样条函数。具体地说，给定区间[a,b]的一个分划 如果函数s(x) 满足： 则称s(x) 为关于分划Δ 的k 次样条函数，其图形称为k 次样条曲线。 x0, x1 , …, , xn称为样条节点， x1, x2 , …, , xn-1称为内节点， n0 , xn 称为边界点，这类样条函数的全体记做SP(△,k),称为k次样条函数空间。 1.5.2 二次样条函数插值（略） 1.5.3 三次样条函数插值 1.5.4 三次样条插值在Matlab 中的实现 Matlab 中三次样条插值有现成的函数： 1）y=interp1(x0,y0,x,spline)； 2）y=spline(x0,y0,x)； 3）pp=csape(x0,y0,conds)，y=ppval(pp,x)。 其中x0,y0 是已知数据点，x 是插值点，y 是插值点的函数值。 提倡使用函数csape，csape 的返回值是pp 形式，要求插值点的函数值，必须调用函数ppval。 pp=csape(x0,y0)：使用默认的边界条件，即Lagrange 边界条件。 pp=csape(x0,y0,conds)中的conds 指定插值的边界条件，其值可为： complete 边界为一阶导数，即默认的边界条件 not-a-knot 非扭结条件 periodic 周期条件 second 边界为二阶导数，二阶导数的值[0, 0]。 variational 设置边界的二阶导数值为[0,0]。 例1 机床加工 待加工零件的外形根据工艺要求由一组数据(x, y) 给出（在平面情况下），用程控铣床加工时每一刀只能沿x 方向和y 方向走非常小的一步，这就需要从已知数据得到加工所要求的步长很小的(x, y) 坐标。 表1 中给出的x, y 数据位于机翼断面的下轮廓线上，假设需要得到x 坐标每改变0.1 时的y 坐标。试完成加工所需数据，画出曲线，并求出x=0 处的曲线斜率和13≤x≤15 范