矩阵理论第一章线性空间与线性变换13学案.pptVIP

定理4 设 A 与 B 分别为线性变换 与 在基 下的矩阵, 这个基下有: 则在 的矩阵为 （2） （1） 的矩阵为 （3） 的矩阵为 AB ； ； ； （4） 若 可逆, 则 的矩阵为 . 中, 例6 在由次数不超过n 的一元多项式集合构成的线性空间 取基为: 设 D 为微分算子, 求 D 在所给基下的矩阵 由于: 即: 故 D 在基 下的矩阵为: 若取基为: 由于 … … … 即由基 到基 的过渡矩阵为: 且有 故 D 在基 下的矩阵为: 定义5 设 T 是线性空间 V 的一个线性变换, T 的全体象组成的集合称为 T 的值域, 用 表示（或用 表示）也称为 T 的象空间. 即: 所有被T 变成零向量的向量构成的集合称为 T 的核 , 记为 或 , 有时也称 为 T 的零空间, 记为 即: 易证: 线性变换 T 的象空间 及零空间 均为 V 的子空间. 事实上 , 由 4. 线性变换的值域与核 可知, 是非空集且对线性运算封闭 , 因此 , 为 V 的子空间（此处 且 另一方面, 由 有: 即 对于线性运算也是封闭的, 又因为 , 即 非空, 所以 是 V 的子空间. 例: 在线性空间 中, 令 , 则微分算子 D 的值域就是 , D 的核 就是数域 P （即对于 , 若使 , 则 只能 取常数）. 称 的维数 为 T 的秩, 记为 ; 称 的维数 为 T 的零度, 记为 （1） 即 T 的值域 是由基的象生成的子空间。 （2） 证：（1）设 定理 5 设T 为线性空间 上的线性变换， 为 的一个基，在该基下的矩阵为A, 则： 可由 线性表示为 于是： 所以 又由 式知，基象的线性组合仍为一个象，故 即 于是 （2）不证 定理6 设 T 是线性空间 上的线性变换, 则 即 不证 注意: 子空间 与 的维数之和为 的维数n, 但 并不一定就是 , 例如 : 在线性空间 中, 令 , 则 就是 , 而 就是子空间 P, 显然 . 定义4 设 T 是 上的线性变换, 是 的子空间, 如果对于任意的 , 有 , 则称 为 T 的不变子空间, 简称 T －子空间. 例7 都是 T －子空间。 按定义, 显然包含了 中向量的象, 所以 是T的不变子空间 而 是被T变为零的向量的集合， 中向量的象都是零，自然在 中。 因此， 也是不变子空间。 例8 如果线性空间 的子空间 由 所张成. 则 是 T -子空间的充分必要条件是 全部属于 证: 必要性是显然的: 因 是 T -子空间, 对于 故 充分性: 如果 由于 所以有: 舒尔定理（Schur) 引理 若n元复向量 的范数 则有酉矩阵U以 为它的第1列向量。 证 先考虑n个未知变量 的线性齐次方程 式中 取 式的任一非零解 ，令 则 为与 正交的单位向量 设已求得r-1个两两正交的单位向量 若 是线性齐次方程组 的任一非零解，令 则 为与 都正交的单位向量 这样可一直做下去，直到求出 以 为列向量的矩阵U即为所求的矩阵 定理4（Schur定理） 设A为n阶方阵， 为其特征值， 不论它们为实数还是复数，总存在相似酉矩阵U， 将A化为三角阵，即 为三角阵， 且B的对角线元素为 证 用归纳法证明 设 为A的一个特征值，相应的特征向量为 不妨设它为单位向量.由引理知，有一个以 为第1列向量的酉矩阵 因为 故 这里 是n-1阶方阵，U为酉矩阵.显然当n=2时， 是三角阵. 现假定对一般的n-1,定理4的结论成立，即对任一（n-1）阶方阵，总有酉矩阵V，使得 其中 为三角阵，则对于n，取 则 也是酉矩阵.令 则U也是酉矩阵.故 酉矩阵 对于n阶矩阵A，若 则称A为酉矩阵 推论1 如果A为Hermite矩阵，则存在酉矩阵U,使得 其中 为A的特征值 推论2 如果A为实对称矩阵，则存在正交矩阵Q,使得 例9 在 中， 设 ,则 因而 不是直和 例10 在 中，设 若设 则存在 使得： 由此可得： 注意到 线性无关，则有： 即 于是 因此， 直和分解也可推广到多个子空间，例如： 其中 为单位坐标向量。 §1.3 内积空间 1. 内积空间 2. 正交性和施密特（Schmidt）正交化