3.4 反证法 课件（北师大版选修1-2）.pptVIP

[方法规律总结]　应用反证法的注意事项 1．用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的思路步骤，其次注意反证法是在条件较少、不易入手时常用的方法． 2．注意否定命题时，要准确无误． 3．用反证法证题时，必须把结论的否定作为条件使用，否则就不是反证法．有时在证明命题“若p，则q”的过程中，虽然否定了结论q，但是在证明过程中没有把“?q”当作条件使用，也推出了矛盾或证得了结论，那么这种证明过程不是反证法． 4．用反证法证题，最后要产生一个矛盾命题，常见的主要矛盾有： (1)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论相矛盾； (2)与假设矛盾； (3)与已知条件矛盾； (4)与公认的简单事实矛盾． 矛盾是在推理过程中发现的，不是推理之前设计的． [错解]　假设a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0，abc≤0与题设条件a＋b＋c0，abc0矛盾． ∴假设不成立，∴原命题成立． [辨析]　错解没有弄清原题待证的结论是什么？导致反设错误．“求证：a0，b0，c0”的含义是“求证a、b、c三数都是正数”，故反设应为“假设a、b、c中至少有一个不大于0.” [正解]　假设a、b、c中至少有一个不大于0，不妨设a≤0，若a0，则由abc0，得bc0，由a＋b＋c0得，b＋c－a0 ∴ab＋bc＋ac＝a(b＋c)＋bc0，这与已知ab＋bc＋ac0矛盾． 又若a＝0，则abc＝0与abc0矛盾． 故“a≤0”不成立，∴a0， 同理可证b0，c0. 巩固提高学案 （点此链接） 第三章　§4 推理与证明 第三章 §4　反　证　法 第三章 典例探究学案 2 巩固提高学案 3 自主预习学案 1 自主预习学案 1．了解反证法是间接证明的一种基本方法；了解反证法的思考过程、特点． 2．感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用． 重点：反证法概念的理解以及反证法的解题步骤． 难点：应用反证法解决问题． 思维导航 我们在立体几何证题中曾经使用过反证法，那么反证法的定义，反证法的原理，用反证法证题的注意事项是怎样的呢？ 反证法 新知导学 1．反证法的定义 一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出______，因此说明假设______，从而证明了原命题______，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一种基本方法． 2．反证法常见的矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与_________矛盾，或与_____矛盾，或与______________ _______、事实矛盾等． 矛盾 错误 成立 已知条件 假设 定义、公理、 定理 3．反证法的适用对象 作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下几类数学问题： (1)直接证明需分多种情况的； (2)结论本身是以否定形式出现的一类命题——否定性命题； (3)关于唯一性、存在性的命题； (4)______以“至多”、“至少”等形式出现的命题； (5)条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的线索不够清晰，_______的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题． 结论 结论 牛刀小试 1．(2014·山东理，4)用反证法证明命题“设a、b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　) A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 [答案]　A [解析]　至少有一个实根的否定为：没有实根． [答案]　C 3．(2013·华池一中高二期中)用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a、b、c中恰有一个偶数”正确的反设为(　　) A．a、b、c都是奇数 B．a、b、c都是偶数 C．a、b、c中至少有两个偶数 D．a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数 [答案]　D [解析]　“自然数a、b、c中恰有一个偶数”即a、b、c中有两奇一偶，故其反面应为都是奇数或两偶一奇或都是偶数，故选D. 4.如图所示，在△ABC中，ABAC，AD为BC边上的高，AM是BC边上的中线，求证：点M不在线段CD上． [解析]　假设点M在线段CD上，则BDBM＝CMCD，且AB2＝BD2＋AD2，AC2＝AD2＋CD2，所以AB2＝BD2＋AD2BM2＋AD2CD2＋AD2＝AC2，即AB2AC2，所以ABAC.这与ABAC矛盾，故假设错误．所以点M不在线段CD上． 典例探究学案 [分析]　直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反证法，注意该命题的反面情形不止一种，需一一驳倒，才能推出命题结论正确． 用反证法证明直接证明不易入手的问题 [解析]　不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而要证b也与平面α相交．假设b不与平面α相交，则必有下面两