数字信号处理___第2章_时域离散信号和系统的频域分析幻灯片.pptVIP

2. 求暂态解 对于N阶差分方程，求暂态解必须已知N个初始条件。设x(n)是因果序列，即x(n)=0,n0，已知初始条件y(-1),y(-2)…y(-N)。对(2.5.30)式进行Z变换时，注意这里要用单边Z变换。方程式的右边由于x(n)是因果序列，单边Z变换与双边Z变换是相同的。下面先求移位序列的单边Z变换。 设 (2.5.33) 按照(2.5.33)式对(2.5.30)式进行单边Z变换 (2.5.34) 例2.5.13已知差分方程y(n)=by(n-1)+x(n)，式中x(n)=anu(n),y(-1)=2，求y(n)。 解：将已知差分方程进行Z变换 式中， , 于是 收敛域为|z|max(|a|,|b|)， 式中第一项为零输入解，第二项为零状态解。 2.6 利用Z变换分析信号和系统的频域特性 2.6.1 传输函数与系统函数 设系统初始状态为零，输出端对输入为单位脉冲序列δ(n)的响应，称为系统的单位脉中响应h(n)，对h(n)进行傅里叶变换得到H(e jω) (2.6.1) 一般称H(e jω)为系统的传输函数，它表征系统的 频率特性。 设h(n)进行Z变换，得到H(z)，一般称H(z)为系统的系统函数，它表征了系统的复频域特性。对N阶差分方程(1.4.2)式，进行Z变换，得到系统函数的一般表示式 (2.6.2) 如果H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1，H(e jω)与 H(z)之间关系如下式： (2.6.3) 2.6.2用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性 因果(可实现)系统其单位脉响应h(n)一定满足当n0时，h(n)=0，那么其系统函数H(z)的收敛域一定包含∞点，即∞点不是极点，极点分布在某个圆的圆内，收敛域在某个圆外。 系统稳定要求 ，对照Z变换定义，系统稳定要求收敛域包含单位圆。如果系统因果且稳定，收敛域包含∞点和单位圆，那么收敛域可表示为 r|z|≤∞， 0r1 例2.6.1已知 分析其因果性和稳定性. 解：H(z)的极点为z=a，z=a-1，如图2.5.5所示。 (1)收敛域a-1|z|≤∞，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应h(n)=(an-a-n)u(n)(参考例题2.5.7)，这是一个因果序列，但不收敛。 (2)收敛域0≤|z|＜a,对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=(a-n-an)u(-n-1)(参考例题2.5.7)，这是一个非因果且不收敛的序列。 (3)收敛域a|z|a-1，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=a|n|，这是一个收敛的双边序列，如图2.6.1(a)所示。 图2.6.1 例2.6.1图示 2.6.3 利用系统的极零点分布分析系统的频率特性 将(2.6.2)式因式分解，得到 (2.6.4) 式中A=b0/a0，上式中cr是H(z)的零点，dr是其极点。A参数影响传输函数的幅度大小，影响系统特性的是零点cr和极点d 的分布。下面我们采用几何方法研究系统零极点分布对系统频率特性的影响。 将(2.6.4)式分子分母同乘以z N+M，得到 设系统稳定，将z=e jω，得到传输函数 (2.6.5) (2.6.6) 设N=M，由(2.6.6)式得到 (2.6.7) 在z平面上，ejω-cr用一根由零点cr指向单位圆上ejω点B的向量 表示，同样ejω-dr用内极点指向ejω点B的向量 表示，如图2.6.2所示。 和 分别称为零点矢量和极点矢量，将它们用 极坐标表 将 和 表示式代入(2.6.7)式，得到 (2.6.8