1.知识与技能掌握空间向量的数乘运算.理解共线向量,直线的.ppt

[例3]　正方形ABCD－A1B1C1D1中，M、N、P、Q分别为A1D1、D1C1、AA1、CC1的中点，求证：M、N、P、Q四点共面． [例4]　已知e1，e2是不共线向量，a＝3e1＋4e2，b＝－3e1＋8e2，判断a与b是否共线． [误解]　因为3e1与－3e1共线，4e2与8e2共线，所以a与b共线． [辨析]　没有准确理解向量共线的充要条件：任一向量a与非零向量b共线的充要条件是a＝λb. 一、选择题 1．下列命题中正确的是 (　　) A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 B．向量a、b、c共面即它们所在的直线共面 C．零向量没有确定的方向 D．若a∥b，则存在惟一的实数λ，使a＝λb [答案]　C [解析]　由零向量定义知选C.而A中b＝0，则a与b不一定共线． 2．若e1，e2是同一个平面α内的两个向量，则(　　) A．平面α内任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R) B．若存在实数λ1，λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0 C．若e1，e2不共线，则空间任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R) D．若e1，e2不共线，则平面α内任一向量a，都有a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R) [答案]　D [解析]　由共面向量定理知选D. [答案]　A [点评]　用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，运用三角形法则或平行四边形法则及向量线性运算的运算律进行． 第三章 空间向量与立体几何 人教 A 版数学 1．知识与技能 掌握空间向量的数乘运算．理解共线向量，直线的方向向量和共面向量． 2．过程与方法 能够利用共线向量和共面向量进行推理和论证． 重点：向量的数乘运算，共线向量与共面向量定理． 难点：共线向量和共面向量的理解与运用． 1．共线向量 前面，我们学习了平面向量共线的充要条件，这个条件在空间也是成立的，即①a∥b，b≠0，则存在唯一实数x使a＝xb；②若存在唯一实数λ，使a＝λb，则a∥b. 判定两向量共线的关键是找到实数λ.运用②证明直线平行还需说明a(或b)上有一点不在b(或a)上． 运用②证明三点共线，还需说明a与b有公共点． 2．共面向量 ①a∥α是指a所在的直线在平面α内或平行于平面α.②共面向量是指这些向量所在的直线平行或在同一平面内，共面向量所在的直线可能相交、平行或异面． 空间任意两个向量总是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了．例如，图中的长方体，向量 ，无论怎样平移都不能使它们在同一平面内． 向量p与不共线向量a，b共面?存在惟一有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb(※) 1．空间向量的数乘运算 (1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个 ，称为向量的数乘运算． (2)向量a与λa的关系 向量 λ的范围 方向关系 模的关系 λ0 方向 . λa的模是a的模的 倍. λ＝0 λa＝0，其方向是任意的 λ0 方向 . 相同 相反 |a| (3)空间向量的数乘运算律 设λ、μ是实数，则有 ①分配律：λ(a＋b)＝ . ②结合律： . λa＋λb λ(μa)＝(λμ)a 2．共线向量与共面向量 共线(平行)向量 共面向量 定义 表示空间向量的有向线段所在的直线 ，则这些向量叫做 或平行向量 平行于 的向量叫做共面向量 充要 条件 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使 . 若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使 . 互相平行或重合 共线向量 同一个平面 a＝λb p＝xa＋yb [例1]　已知ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O.Q是CD的中点，求下列各式中x、y的值： [分析]　由题目可以获取以下主要信息： ①ABCD是正方形，O为中心，PO⊥面ABCD，Q为CD中点； ②用已知向量表示指定向量． 解答本题需准确画图，先利用三角形法则或平行四边形法则表示出指定向量，再根据对应向量的系数相等．求出x、y即可． [解析]　如图， 第三章 空间向量与立体几何 人教 A 版数学