第一章定解问题.pptVIP

边界条件举例 典型线性边界条件 一维弦振动 固定端 u |x=0 =0 受力端 ux|x=0 = F/ρ 一维杆振动 固定端 u |x=0 = 0 自由端 ux|x=0 = 0 受力端 ux|x=0 = F/YS 一维热传导 恒温端 u |x=0 = a 绝热端 ux|x=0 = 0 吸热端 ux|x=0 = F/k 定解问题 定解问题的组成 定解条件：描述具体对象的特殊性。 泛定方程：反映同一类现象的普遍性； 定解问题的分类 初值问题(Cauchy Problem)：无边界条件（环境对问题的影响可以忽略不计） 边值问题：无初始条件（历史对问题的影响可以忽略不计） 第一边值问题(Dirichlet Problem) 第二边值问题(Neumann Problem) 第三边值问题(Robin Problem) 混合问题：同时有边界条件和初始条件。 弦振动的Cauchy问题 第一章 典型方程和定解条件的推导 包含初值条件的定解问题称为初值问题（Cauchy 问题） 包含初值条件和边界条件的定解问题称为混合问题 (初边值问题) 热传导方程的混合问题 第一章 典型方程和定解条件的推导 波动方程的混合问题 只附加边界条件的定解问题称为边值问题. 初值条件、边界条件统称为定解条件 . 初值问题、边值问题、混合问题统称为定解问题. 第一章 典型方程和定解条件的推导 定解问题的适定性 适定性的意义 定解问题是实际问题的数学模型，适定性是对模型能否反映实际问题的一般要求。 适定性的内容 存在性 唯一性 稳定性 不适定问题举例 一般来说，方程的阶数对应于定解条件的个数； 条件多了，将会破坏解的存在性； 条件少了，将会破坏解的唯一性。 本章小结 波动方程 热传导方程 拉普拉斯方程 泊松方程 第一类 第二类 第三类 周期性 有界性 演化方程 稳定方程 线性边界条件 自然边界条件 初始状态 初始速度 泛定方程 边界条件 初始条件 定解问题 * F/p 的物理意义为：单位质量物质在单位时间产生的热量 f 的物理意义为：单位热容量物质在单位时间产生的热量 * 分类 第一类边界条件：给出未知函数在边界上的数值； 第二类边界条件：给出未知函数在边界外法线的方向导数； 第三类边界条件：给出未知函数在边界上的函数值和外法向导数的线性组合。 * 分类 第一类边界条件：给出未知函数在边界上的数值； 第二类边界条件：给出未知函数在边界外法线的方向导数； 第三类边界条件：给出未知函数在边界上的函数值和外法向导数的线性组合。 * 如果一个定解问题的解存在、唯一，而且在一定意义下当定解 条件作微小的变化时，解的变化也很微小(这称为解的稳定性，或 解对定解条件的连续依赖性)，则称这个定解问题在阿达玛 (Hadamard)意义下是适定的． 在定解问题的提法的适定性中，要求解存在而且唯一，这显然 是一个合理的要求．但我们不能简单地认为，因为物理问题有解， 所以定解问题也有解．这是因为，我们从物理问题中归结出数学模 型时，总要作一些理想化的近似假设，这些理想化假设是否合理尚 待检验．特别是对于提出的定解条件，可能产生这样两种情况：一 是定解条件过多，或者互相矛盾，定解条件不能同时满足，相应的 定解问题的解不存在，这样的定解问题就不能用来描述任何物理 过程；再就是定解条件少了，使得定解问题的解不唯一，这样的定 解问题就不能用来描述一个确定的物理过程．总之，存在唯一性的 研究，可以使我们恰到好处地提出泛定方程的定解条件． 另外，从数学上看，存在性的研究也往往就是一个提供求解方 法的过程．而唯一性则保证我们不论采用什么方法，只要能找出既 满足方程又符合定解条件的解，就达到了求解定解问题的目的. 稳定性的要求也是显然的．因为实际问题中测定的定解条件 (如测量边界面的电势、温度等)只能是近似的，如果问题的解是稳 定的，就能保证所得到的解近似地反映自然现象．相反地，如果当 定解条件很接近时，对应的解却可以相差很大，这样就无法保证我 们所获得的解的可靠性． 许多物理现象都具有叠加性，几种不同的因素同时出现时 产生的效果，等于各个因素单独出现时所产生的效果的总和(叠 加)．例如，多个点电荷所产生的总电势，等于各个电荷单独产生的 电势的叠加．又如，在力学中，力的独立作用原理也是一种叠加性． 这种叠加性反映到数学物理方程中来，就是描述这种具有叠加性 的物理现象的定解问题，不仅泛定方程是线性的，而且定解条件也 是线性的，这种定解问题称为线性定解问题． 通常，把描述一个物理过程的偏微分方程成为泛定方程。一般 泛定方程的解有无穷多个，为了把一个过程的进展情况完全确定 下来，还要知道这个过程发生的具体条件，这些附加条件称为