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（原创）曲线运动“轨迹”问题破解（续） ——高中物理备考综合热身辅导系列 高级物理教师 魏德田 物理学中的常规物体、弹道导弹、卫星、航天飞机和带电物体（包括实物粒子、小球、金属棒等）在静电场、静磁场、变化电磁场以及各种复合场内的曲线运动问题，历来受到各级学校、教委或命题部门的高度关注。尤其是进入新世纪以来，随着经济的崛起和科技的进步，更趋于“热化”。因此，对此进行尝试性、开拓性的研究，适度的加以引深和扩展，对物理教学和人才培养都具有重要的现实意义和深远的学术价值。 破解的依据（续） 为进一步展开讨论，除开“前文”所述而外，应补充以下两条“依据”： ㈤恒定的合外力（或合加速度）导致物体做匀变速曲线运动，即类（平、斜上或下）抛运动，其“轨迹”为“抛物线”。 ㈥合外力为“有心引力”、“有心斥力”（均指保守力）时，由于力的大小、方向均在变化，从而导致物体做非匀变速曲线运动。前者的轨迹为“椭圆（圆）或抛物线”，当物体靠近曲线的“焦点”——做近心运动时，动能增加，引力“势能”减少；当物体远离曲线的“焦点”——做离心运动时，动能减少，引力“势能”增加。后者的轨迹为“双曲线”，动能、斥力“势能”的变化等则与前述情况相反。 注：“势能”，指势场或等效势场中系统的势能。 请读者看下面的几个典型问题的解答。 [例题1](’07天津理综)如图—1所示，在x轴上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，一个不计重力的带电粒子从坐标原点O处以速度V进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与X轴正方向成120°角，若粒子穿过y轴正半轴后在磁场中到X轴的最大距离为a，则该粒子的比荷和所带电荷的正负是（ ） A. 正电荷 B. 正电荷 C.负电荷 D.负电荷 [解析]由“依据”㈠、㈡和㈢（参见前文，下同）可知，其所受洛仑兹力与速度方向时刻垂直，该粒子在磁场内做匀速圆周运动，。由于速率不变，故物体的动能不变，洛仑兹力对物体不会做功。静磁场不是势场，与势能及其变化无关。 然后，由左手定则可判断出粒子带负电，其运动“轨迹”如图—2所示。再由几何关系，可得 由此，解得 再由轨道半径公式，，可求出 因此，正确的答案为：选C. [例题2]（’06江苏统考）如图—3所示，一物体水平恒力作用下沿光滑的水平桌面做曲线运动，当物体从M点运动到N点时，其速度方向恰好改变了90°，则物体在M点到N点的运动过程中，物体的速率将 A.不断增大 B.不断减小 C.先减小后增大 D.先增大后后减小 [解析]已知物体在水平方向只受已知恒力作用，由依据㈤可知，物体在该平面内做“类斜上抛”运动。由“依据”㈠、㈡可知，合力分布于曲线右下方的区域内。 然后，在曲线MN上选较远的的两点P、Q，由于物体受恒力作用，故两点的加速度是大小相等、彼此平行的。由图—4可见，在P、Q点，加速度与速度分别成钝角、锐角，故由“依据”㈢，可得在题设过程中物体的速率“先减小后增大”，正确的答案为：选C。 [点拨]“依据”㈢的普适性和正确性，可参考图—5加以理解。先把各自的加速度分解为切向加速度、法向加速度。在P点分加速度a1P与速度VP方向相反，故速率将减小；在Q点，分加速度a1Q与速度VQ方向相同，故速率将增加；分加速度a2P、a2Q与速度VP、VQ方向各自垂直，导致物体运动方向的改变（转弯）。 [例题3]（’07上海理综）如图—6所示，边长为L的正方形区域abcd内存在着匀强电场。电量为q、动能为EK的带电粒子从a点沿ab方向进入电场，不计重力。 ⑴若粒子从c点离开电场，求电场强度的大小和粒子离开电场的动能； ⑵若粒子离开电场时动能E/K，则电场强度为多大？ [解析]⑴如图—7所示，对垂直于电场方向射入的带电粒子，满足“从C点离开”，粒子必做曲线运动；。由依据㈠、㈡可知，电场力必与场强方向一致，电场内向左上弯曲的“实线”是粒子运动的轨迹，进而知粒子必带正电荷。 显见，电场力（或加速度）与初速度相互垂直，其大小、方向均不变，再参考“依据”㈢、㈤，可以断定带电粒子在该电场内做“类平抛运动”。设粒子的初速度为v0、质量m，根据由平抛运动规律、牛二定律以及动能定义，可得 由①②式，可求出： 设粒子离开C点时的动能为EK/，根据动能定理可得 从而,可求出： ⑵分析可知，粒子可从不同方向射出电场。若粒子从bc边射出，同理得 从而，可以求出： 若粒子从对dc边射出，由动能定理,可得 从而,又可得到： . [点拨]我们首先看到，“恒力与初速度相互垂直”，再用关于“轨迹”的几条“依据”，审察和确认出带电粒子