罗尔定理与拉格朗日定理的证明与应用.docxVIP

罗尔定理与拉格朗日定理的证明与应用单位：旅游系 专业：酒店管理姓名：王姐 学号：1414061039【摘要】罗尔定理与拉格朗日定理是是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断导数的整体性质的工具。拉格朗日定理存在于多个科学领域之中，其中微积分中的拉格朗日定理即拉格朗日中值定理，又称拉式定理，是罗尔中值定理的推广，同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的形式。它在初等数学中有着重要作用，也是一个基础性定理。在许多方面它都有重要的作用 ，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。【关键词】罗尔定理、拉格朗日定理、重要应用。引言拉格朗日定理是高等数学的基础，同时也是一个基础性的定理，在高等数学中有着重要作用，要学习和掌握它的证明方法。罗尔定理：如果函数满足条件：在闭区间上连续；在开区间内可导；在区间两个端点的函数值相等，即，，使得。罗尔定理的证明：因为函数在闭区间上连续，所以它在上必能取得最大值和最小值。（1）如果，则在上恒等于常数，因此，在整个区间内恒有，所以，内每一点都可取作，此时定理显然成立。（2）如果，因，则数与中至少有一个不等于端点的函数值，设，这就是说，在内至少有一点，使得。下面证明。由于是最大值，所以不论为正或负，恒有，。当时，，有已知条件存在可知，；当时，有，于是 。拉格朗日定理：设函数满足条件：在闭区间上连续；在开区间内可导，则至少存在一点，使得：或。拉格朗日定理的证明：。有定理假设易知满足条件：在闭区间上连续；在开区间内可导；,因此，有罗尔定理可知，至少存在一点，使得：，即。对于，由于它介于与之间，由此可将表示成。其中，于是拉格朗日公式也可以改写为：，于是，罗尔定理是拉格朗日定理时的特殊情况。拉格朗日定理在不等式中的应用求证：时，。证明：1. 时，， 存在。2. 时，，存在，只要证。，，又，。结束语通过对罗尔定理与拉格朗日定理的证明，发现采用的是构造辅助函数的方法，还讲述了罗尔定理即拉格朗日定理在不等式当中的应用。参考文献华东师范大学数学系.《数学分析》上册.高等教育出版社，2001张桥艳.微分中值定理的应用.保山师专学报.2009张勇.微分中值定理的认识及推广.消费导刊.2009