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智能技术 总 目 录 第1章 概论 第2章 知识表示技术 第3章 知识推理技术 第4章 模糊逻辑技术 第5章 神经网络技术 第6章 遗传算法 总 目 录 第7章 专家系统 第8章 机器学习 4.1 模糊逻辑的数学基础 4.1.1 模糊集合 4.1.2 模糊集合的表示方法 4.1.3 模糊集合的运算 4.1.4 隶属函数确定方法 4.1.5 模糊关系 4.1.1 模糊集合 在人类的思维中，有许多模糊的概念，如大、小、冷、热等，都没有明确的内涵和外延，只能用模糊集合来描述；有的概念具有清晰的内涵和外延，如男人和女人。我们把前者叫做模糊集合，用大写字母下添加波浪线表示，如A表示模糊集合，而后者叫做普通集合(或经典集合)。 一般而言，在不同程度上具有某种特定属性的所有元素的总合叫做模糊集合。 例如，胖子就是一个模糊集合，它是指不同程度发胖的那群人，它没有明确的界线，也就是说你无法绝对地指出哪些人属于这个集合，而哪些人不属于这个集合，类似这样的概念，在人们的日常生活中随处可见。 隶属函数 在普通集合中，曾用特征函数来描述集合，而对于模糊性的事物，用特征函数来表示其属性是不恰当的。因为模糊事物根本无法断然确定其归属。为了能说明具有模糊性事物的归属，可以把特征函数取值0、1的情况，改为对闭区间[0，1]的取值。这样，特征函数就可取0～1之间的无穷多个值，即特征函数演变成可以无穷取值的连续逻辑函数。从而得到了描述模糊集合的特征函数——隶属函数，它是模糊数学中最基本和最重要的概念，其定义为： 用于描述模糊集合，并在[0，1]闭区间连续取值的特征函数叫隶属函数，隶属函数用μA(x)表示，其中A表示模糊集合，而x是A的元素，隶属函数满足： 0≤μA(x)≤1 表示青年的集合 有了隶属函数以后，人们就可以把元素对模糊集合的归属程度恰当地表示出来。例如青年是一个集合，用普通集合表示时为集合A，并且有 A＝{x|15岁≤x≤25岁} 则这时的特征函数如图4–1(a)所示。如果用模糊集合A表示，并且有 μA(x)＝e 则这时的隶属函数如图4–1(b)所示。 从图4–1中可以看出，隶属函数较为正确地表示了青年这个集合。因为青年不可能有特征函数那样绝对明确地边界。它们的边界是不清晰的，具有逐步过渡的性质。青年这一层以20岁为中心，其隶属度为最大，距离中心越远，其隶属度也就越小。 这样，一个模糊的概念，只要指定论域U中各个元素对它的符合程度，这个模糊概念也就得到一种集合表示了。把元素对概念的符合程度看作元素对集合的隶属程度，那么指定各个元素的隶属度也就指定了一个集合。因此模糊集合完全可由隶属函数所刻划。 4.1.2 模糊集合的表示方法 模糊集合由于没有明确的边界，只能有一种描述方法，就是用隶属函数描述。Zadeh于1965年曾给出下列定义：设给定论域U，μA为U到[0，1]闭区间的任一映射， μA：U [0，1] x μA(x) 都可确定U的一个模糊集合A，μA称为模糊集合A的隶属函数。x∈U，μA(x)称为元素x对A的隶属函数，即x隶属于A的程度。 当μA(x)值域取值[0, 1]闭区间两个端点时，即取值 {0, 1}时，μA(x)即为特征函数，A便转化为一个普通集合。由此可见模糊集合是普通集合概念的推广，而普通集合则是模糊集合的特殊情况。 1.有限论域 若论域U，且论域U＝{x1，x2，…，xn}，则U上的模糊集合A可表示为： A＝ ＝ 其中：μA(xi)（i＝1，2，…，n）为隶属度，xi为论域中的元素。当隶属度为0时，该项可以略去不写。例如： A＝1/a ＋ 0.9/b ＋ 0.4/c ＋ 0.2/d ＋ 0/e 或 A＝1/a ＋ 0.9/b ＋ 0.4/c ＋ 0.2/d 注意，与普通集合一样，上式不是分式求和，仅是一种表示法的符号，其分母表示论域U中的元素，分子表示相应元素的隶属度，隶属度为0的那一项可以省略。 2．无限论域 在论域是无限的情况下，上面的记法就不行了，为此需将表示方法从有限论域推广至一般情况。 取一连续实数区间，这时U的模糊集合A可以用实函数来表示。不论论域是否有限，都可以表示为： A＝ 其中：积分号不是高等数学中的积分意义，也不是求和号，而是表示各个元素与隶属度对应的一个总括形式。 当然，给出隶属函数的解析式子也能表示出一个模糊集。 4.1.3 模糊集合的运算 由于模糊集和它的隶属函数一一对应，所以