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因此， 3、几点结论 （1）S平面的单极点 变为Z平面单极点 就可求得H（Z）。 （2） 与H（Z）的系数相同，均为 （3）AF是稳定的，DF也是稳定的。 （4）S平面的极点与Z平面的极点一一对应，但两 平面并不一一对应。 例如，零点就没有这种对应关系。 4、修正的H（Z） 由于DF的频响与T成反比，当T很小时，DF的增益 过高，这样很不好，为此做如下修正： [例6-3] AF的系统函数为 ， 试用冲激响应不变法，设计IIRDF，T=1 解： 设T=1， 6-5 双线性变换法 通常，信号大都为时限的，据信号理论可知，时限信号变换到 频域， 将变成非带限信号，系统也遵循这一原则。这样当用冲激 响应不变法设计DF时，不可避免的产生混叠失真。为了克服混叠 失真，可采用双变换法。这种方法的基本思想是，先将 S 平面中 非带限的所设计的系统函数变换到 平面，并使其为带限的，然 后再转换到Z平面。 一、变换原理 在S平面与Z平面的映射关系中,我们知道，S平面中一条宽为 （如 到 ）的横带就可以变换到整个Z平 面.因此，可先将整个S平面压缩到一个中介的 平面的一条横带里，再通过 将此横带变换到整个Z平面上。这样就 使S平面和Z平面是一一映射关系。如下图所示： 时，将由 经过0变到 由上图可知，将 S平面进行压缩，实际上，就是将其 轴压缩到 平面的 轴上的 到 的范围内。这可通过 正切变换实现： 其中C为任意常数。由上式可知，当 由 经过0变到 通过欧拉公式，可得： 上式表示两个线性函数之比，称作线性分式变换，若用S表示Z，可得： 将上式关系延拓到整个S和 平面，则有： 借助于 平面和Z平面的映射关系： ，可以得到： 可见，也是线性分式变换（函数），这样( )间的变换是双向的，故称作双线性变换 二、 S平面与Z平面的映射关系 由于 可得： （1）当 时， ；这就是说，S平面的 轴映射Z平 面的单位圆上。 （1）当 时，上式的分母大于分子，则有 ；这表明S左半平面映射到Z平面的单位圆内。两者均是稳定的。 三、 变换常数C的选择 由于 ，所以只有当 很小（一般 ）， 和 之间才存在线性关系，即： 1.如果使AF和DF在低频处有较确切的对应关系，则选择 这时有 ，即 2.如果使DF的某一稳定频率（如 ）与AF的一特定频 严格相对应，则有 率 即 四、双线性变换的特点 1。S平面的虚轴（ ）映射到Z平面的单位圆上。这是因为 时，不管常数C为何值， 均为1 2。稳定的AF，经双线性变换后所得DF也一定是稳定的，这是 因为稳定的AF，其极点必全部位于S的左半平面上，经双线性变 换后，这些极点全部落在单位圆内。 3。其突出的优点是避免了频响的混叠失真。说明如下： 将 代入双线性变换公式，且 则 即 亦即 从 时，则 从 ；这就是说，S平面的正 虚轴被映射到Z平面的单位圆的上半部 从 时，则 从 ；这就是说，S平面的负虚轴被映射到Z平面的单位圆的下半部 也就是说，从S平面到Z平面，频率轴是单位变换关系，而且当 时， 为折叠频率，所以不会有高于折叠频率 的分量，因此不会产生混叠失真。 五、 设计方法 1。直接代入法 只需将 代入AF系统函数 就可得到DF的系统函数