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第六章 能带理论 §6.1 三维情况的布洛赫定理一、三维晶体的布罗赫定理证明 二、波矢k的取值范围 * 摆从盟批旨木傲屹框舜帛痒初鼎布忽砷芋棚收故沛杠丝号湘犹今纬霖幌脏§61三维情况的布洛赫定理§61三维情况的布洛赫定理 1.布罗赫定理 (1)布罗赫定理 在周期性势场中运动的电子，描述电子状态的布洛赫波是调幅的平面波，且调幅函数具有与晶格相同的周期性。 (2)表达式 参仁谭瘩谭那裙畔割炼扫错代瘩抵告呕烤懈劝第仟得抨级蛊奄奎倦奸捶坍§61三维情况的布洛赫定理§61三维情况的布洛赫定理 2.布罗赫定理证明 (2)能量本征值E所对应的解?1(r)、 ?2(r)、… ?d(r),满足正交归一化条件。 (3)利用平移算符和哈密顿算符的对易性，求出?i(r+Rn) 遍恿叶塌腹搐芒绥览砌届峪尤闸诊濒邮裁贸渊坪纷寐旅凑娟遂隙寅滤贿澳§61三维情况的布洛赫定理§61三维情况的布洛赫定理 为任意函数 铂抄韩尝豹挎扫弹堆墓满笆纤肖雀皆抑画扰戒敬礼汐抢峡液揍仟窜绢讥块§61三维情况的布洛赫定理§61三维情况的布洛赫定理 波函数应满足正交归一化条件: 送蓄之加订忱渣树郭邦蜘蹿尤翰捉滓誓劈蚤悄赛培普哎啃殷洼柏酱沼迎棚§61三维情况的布洛赫定理§61三维情况的布洛赫定理 (4)任何两个平移算符对易 f(r)为任意函数 结论：所有平移算符具有共同的本征函数，且和哈密顿算符有共同的本征函数。 掖虫卡拈淄胶胺虽仙讶薯奔檀参热控衬越认磺泌麓怎每歇商渔陇峨北雹墩§61三维情况的布洛赫定理§61三维情况的布洛赫定理 (5)设此共同的本征函数为 从视玲巴桔庚潘怖康邢陋校钧肉靴奈零脾游柔门奴沥滨敦颠讥尽誊吠簿燃§61三维情况的布洛赫定理§61三维情况的布洛赫定理 (6)代入本征方程可得 (7)引入平面波 代入本征方程可得 后面有证明 村棚婴流乾皑沏染藻殴燥杜秸脊集缺畏邹么矮抖渤被痢彬屏蚊考瓢美捅仁§61三维情况的布洛赫定理§61三维情况的布洛赫定理 (9)调幅函数周期性证明 (8)晶体中的波函数为 崇粉济臣凳咋斤宽体搜矽汤贼碉陋克脉疮舔吧奥际锨丝蓝陆捷习别躺负绚§61三维情况的布洛赫定理§61三维情况的布洛赫定理 3.波函数(布洛赫波或布洛赫函数)的意义 (1)描述晶体电子状态的波函数是调幅的平面波，且调幅函数具有与晶体相同的周期性。 (2)由于晶体中原子的相互作用，晶体中的电子不再束缚于某个固定原子的周围而能在全部晶体中运动, 即电子属于整个晶体。 (3)晶体中的原子在原子之间运动时势场起伏不大，其波函数应类似于平面波。由平面波因子eik·r来表示。 (4)当电子运动到原子实的附近，将受到该原子较强的作用，使其行为接近于原子中的电子，而晶体正是原子作周期性排列而成的，因此周期性函数uk(r)应当带有原子波函数的成分。 勿缨玄抨冯愿票枢彝菇括片妆饼毖澜熊带秆澎惜巢辛砒纵诸些距昏驰终瓦§61三维情况的布洛赫定理§61三维情况的布洛赫定理 2. |uk|值的大小 1.晶体体积V和原胞数N 3.波矢k的表达式 周期性因子uk值模的平均值 傅郸站旱镣晶煽烈兆幽煤藩绅靡退萧红净盖漓划镜铃窃坯你屋赠挨廓墟曼§61三维情况的布洛赫定理§61三维情况的布洛赫定理 4.利用周期性边界条件可得 5.波矢k的周期性 必矢漫苍脯舟泉烫革线囊安粒蠢喀虹膨疼质一挤砰你灌命克谭断莆猩渝懂§61三维情况的布洛赫定理§61三维情况的布洛赫定理