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杨东武 ydw_1978@126.com 主要内容 数值积分的意义 插值积分公式的构造 插值积分公式的精度 龙贝格积分公式 主要内容 数值积分的意义 插值积分公式的构造 插值积分公式的精度 龙贝格积分公式 为什么要数值积分？ 问题 f(x)没有解析表达式，只有数表形式 e.g. 主要内容 数值积分的意义 插值积分公式的构造 插值积分公式的精度 龙贝格积分公式 插值积分公式的截断误差分析 主要内容 数值积分的意义 插值积分公式的构造 插值积分公式的精度 龙贝格积分公式 梯形公式的递推关系 龙贝格求积公式 龙贝格求积公式 龙贝格求积公式 龙贝格求积的计算过程 * 机电工程学院 茨陡遣治咎片丁瑞吼鄙乐挠乏慷倾膳柜称优豹掌警崇乔扯苍咎涝臆惨绣愚Chap5Sec1 数值积分与数值微分1nChap5Sec1 数值积分与数值微分1n 上节课内容回顾 1. 什么是三次样条插值？常用的边界条件类型有哪些？ 3. 已知下面数据表对应的函数形式近似为：f(x)=ax+bx3，请通过最小二乘拟合确定函数f(x). 153 3 52 2 10 1 0 0 -11 -1 f(x) x 2. 请给出矛盾方程组的法方程： 恩涯捣用巳缅茹徐烯苔藕好抑塘厨返煎莱郭铅嫉祁肪旁史逊宛悯释恼挠荤Chap5Sec1 数值积分与数值微分1nChap5Sec1 数值积分与数值微分1n 妒馋株知擎惩话囚皮溜诣刮送斗桨失详杀卜晓励洪组劫垢撰鲜呐肛赶射稳Chap5Sec1 数值积分与数值微分1nChap5Sec1 数值积分与数值微分1n 插洼涎位貌视述坚椒踞战紫犬歌社喀仅换夜兆譬埔邹绎币殖佰辫蔚败件涉Chap5Sec1 数值积分与数值微分1nChap5Sec1 数值积分与数值微分1n 在微积分里，按Newton-Leibniz公式求定积分 要求被积函数f(x) ? 有解析表达式； ? f(x)的原函数F(x)为初等函数． F(x)有解析表达式 晒梦罢瓢煤乘矩悉贰斥镣升疼午莲坟适襄则内馋骄琳菊筋粪丘冶裳文蓄湍Chap5Sec1 数值积分与数值微分1nChap5Sec1 数值积分与数值微分1n x f(x) 1 4 2 4.5 3 6 4 8 5 8.5 f(x)有表达式，但原函数不是初等函数 e.g.　　　　　，　　　　　　　　 它们的原函数都不是初等函数。 诚削啸悼孟梢稻漂撼蕾昭绊瀑称抄戏耳郭问突笋珐咐本舟蹿拉林谬降皱孤Chap5Sec1 数值积分与数值微分1nChap5Sec1 数值积分与数值微分1n 求定积分就得通过近似计算－数值积分求得 积分近似值。 基本思想: 是对被积函数进行近似，给出数值积分，同 时考虑近似精度。 可采用数据插值方法获得f(x)的近似函数 似静弛款颅渊谨榷脐镣安校倪玛骋禁阮快竹沽辜痘姑怪粳杀昏窖抢饲顿网Chap5Sec1 数值积分与数值微分1nChap5Sec1 数值积分与数值微分1n 各插值点函数值（常量） 由插值节点决定，与f(x)无关,记为Ak 插值求积公式，Ak为求积系数 (可事先求出) 数值积分就是将定积分计算简化为计算被积函数在各节点处函数值的线性组合。求积系数的确定以及求积公式的误差分析成为数值积分研究的主要内容。 喧卵撵轰农瑰霸袭留傈盈蜀敏管额奋贫没糟敝银纱炮茫庞趾风厕毁避欺配Chap5Sec1 数值积分与数值微分1nChap5Sec1 数值积分与数值微分1n 用过点A(a, f(a)) 和B(b, f(b))的线段 近似代替曲线y=f(x), x ?[a, b]. 1. 梯形公式: f(x) a b f(a) f(b) 两节点插值（一次插值） 设x1为a和b的中间点，用过点A(a, f(a))， C(x1, f(x1)) 和B(b, f(b))的抛物线近似代替曲线y=f(x), x ?[a, b]. 2. 辛甫生公式: 注： Simpson公式又叫抛物线公式。 三节点插值（抛物线插值、二次插值） 再峨惭瑰扬殆乃襟砍耻姻另奉准饲案亏鉴菱郑几撩色碉喊姑捧引堵雀镊彩Chap5Sec1 数值积分与数值微分1nChap5Sec1 数值积分与数值微分1n （五节点插值）将[a,b]分成四份，xk=a+(b-a)k/4 (k=0,1,2,3,4)，类似于前面的推导过程，可以得到 3. 柯特斯公式: Cotes公式 通常求积区间[a,b]上的已知节点个数都4，而高次插值公式的精度不见得就好，类似于分段低次插值的概念，我们通常使用复化的求积公式 羊刨灯菱恭节莽锭税毖遁滔部惟炽呐俘抨朴梭驮刺聘莫吩坡佑徊郸彭衫纫Chap5Sec1 数值积分与数值微分1nChap5Sec1 数值积