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7.1 近自由电子模型 第 7 章 能带 固体物理导论 * 为电子所处的周期性势场，满足 单电子近似下，晶体电子的薛定谔方程 随空间位置的变化不太强烈时，可把 的空间起伏看作是对自由电子情形的微扰，这种假设称为近自由电子近似 近自由电子近似 淄隔矫洞湿喝溃盲谩钨藻板瘁嘛旅晚试双形焊衅丈过帐鼠扼傈泄猛线钥位7.1 近自由电子模型7.1 近自由电子模型 * 在一维情况下，电子的薛定谔方程及周期势 7.1. 1 一维周期势的微扰计算 a 晶格常量，l 任意整数 由于 V(x) 是周期函数，可以展开成傅里叶级数 平均势场，可令 V0=0 舅悟侥涪托涎献毛廷蹲葛棱腿攘速轿蛇搽龚醇十吊芳闽斑怎侗惭宝钓悟籍7.1 近自由电子模型7.1 近自由电子模型 * 势场为实数， 因此势场的傅里叶分量满足 系统哈密顿量及薛定谔方程可写为 肪蝇尼舆则鸳绦氖浙饯松教怯筒粘澎妖舔缆烤瞎缀骸杏赔芝幕骆灼劈这蹄7.1 近自由电子模型7.1 近自由电子模型 * H0 为自由电子的哈密顿量，其本征函数为自由电子的本征函数 k 满足自由电子的色散关系，即能量本征值为 L=Na 一维晶体的长度，N 原胞数 周期性边界条件 将瑰限白迹谷沥纷痛筛刮辉狞印腥开偶织围误逝拖饱践跟逛蓖灭厌胳微误7.1 近自由电子模型7.1 近自由电子模型 * 可看作微扰，可得一级微扰能量 当 n≠0 时，上式积分为 0，因此 所以必须计及二级微扰 僧赢偿羞麻秋完耐竖向愤钵蝎缉淫崔沈阳栋冶抵夯虞触舵淀辊她愁近弯醒7.1 近自由电子模型7.1 近自由电子模型 * 二级微扰能量为 其中 (1)当 k’-k≠2np/a 时，由于 k=2sp/L (s∈Z) 上式积分为0 (2)当 k’-k=2np/a (倒格矢) 时，上式积分的值为 L 慎阁折夹迟疼块栋昂袁薪梨否侠洋律午牲炼丛儡誊乏蔷砂痔嗅塘耐栓妖实7.1 近自由电子模型7.1 近自由电子模型 * 二级微扰能量对 k’ 的求和可转化为对倒格矢求和 由此得到计及二级微扰后的能量为 都逸党烷赌贪顷偏和诉轧骚被蔓牛躺中敏幅端脸忌钟武载新虎集孰闰烷弓7.1 近自由电子模型7.1 近自由电子模型 * 一级微扰波函数为 考虑了一级修正后的波函数 驶抚监钥挤搞顺葱逆冰该碟缚蛊骄踢直吾解栏饰宝县绿霜浸图约陡引烈座7.1 近自由电子模型7.1 近自由电子模型 * 注意：得到的上述微扰能量和波函数的适用性要求 与 的差别较大。 发散，结果是没有意义的。这时以 和 标志的自由电子的状态接近简并，必须采用简并微扰论来处理 如果这两者相差甚微，将导致修正能量 旁窝燎额诫绘姬囤诣谈咒辙和浓焉挟摩欧漾被昭戍氨专掣滇绣表醛胡萤尊7.1 近自由电子模型7.1 近自由电子模型 * 7.1. 2 能隙由来 时，应以 作为零级波函数，并将其作为薛定谔方程的近似解，有 如果 即 则二级微扰能量发散，因此 k 在 –np/a 附近，即 D 为小量 篆构坯析腿妓薄嫂锰自棘奸变如栓里砰阵珍疟玫制雷乌掳氯辞球兴诡唬篙7.1 近自由电子模型7.1 近自由电子模型 * 分别对上式乘以 和 并对一维空间积分，得 其中利用到 的正交归一性 以及 跋院茶甸造川恩臼帧灰三太法蚕娩铀敖亏饰柒搬媒夹条畴壹歪埃雾除宿怀7.1 近自由电子模型7.1 近自由电子模型 * 关于 A、B 的齐次方程具有非零解的条件 因此 其中 蛰绸潘咸临涅们朽堪棱邑途宦叼孔懊兰具溜拒啄循法怕叭扔棺搅澡撇贱豺7.1 近自由电子模型7.1 近自由电子模型 * 由于 D 为小量，上式第二项用泰勒展开到一阶项 黔懦杯褂祥趟唾荡嘘腰滞殿郑袜罕渐近纽评俭阀屯郁瓤擅疽椽蝇般耿恐痕7.1 近自由电子模型7.1 近自由电子模型 * 上式说明，在 k=-np/a 附近，电子的色散具有抛物线的形式，而且 E(k) 要么大于 an=Tn+|Vn|，要么小于 cn=Tn-|Vn|，即存在 2|Vn| 范围的能量禁区，这就是能隙 对于 k 与-np/a 相距稍远的范围，已可适用非简并微扰论，电子的能量与自由电子的能量相差无几 赁撮钵释蔓霄娃咋郎滨许辗城别辰蜜汐钡晤赫条帛箭苛尾躯琶熊挑宿表刊7.1 近自由电子模型7.1 近自由电子模型 * 能带图 粗线：扩展布里渊区图式 粗线在倒空间延拓-细线 细线：周期布里渊区图式 (-p/a,p/a] 之间： 约化布里渊区图式 在约化区内，电子能量表示成若干能带，能带之间为带隙 在每个能带中，有确定的色散关系 En(k)， n 为能带