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matlab在科学计算中的应用04_2
4.2.3 线性方程组的直接求解－分析方法 矩阵的三角分解： －LU分 [l,u]=lu(A) ％ l＝P-1 L l = 0.2500 0.5000 1.0000 0.5000 1.0000 0 1.0000 0 0 u = 4.0000 6.0000 7.0000 0 1.0000 -2.5000 0 0 2.5000 [l,u,p]=lu(A) l = 1.0000 0 0 0.5000 1.0000 0 0.2500 0.5000 1.0000 u = 4.0000 6.0000 7.0000 0 1.0000 -2.5000 0 0 2.5000 p = 0 0 1 0 1 0 1 0 0 －QR分解 将矩阵A分解成一个正交矩阵与一个上三角矩阵的乘积。 例： A =[ 1 2 3;4 5 6; 7 8 9; 10 11 12]; [Q,R] = qr(A) Q = -0.0776 -0.8331 0.5456 -0.0478 -0.3105 -0.4512 -0.6919 0.4704 -0.5433 -0.0694 -0.2531 -0.7975 -0.7762 0.3124 0.3994 0.3748 R = -12.8841 -14.5916 -16.2992 0 -1.0413 -2.0826 0 0 -0.0000 0 0 0 Cholesky(乔里斯基 )分解 ●利用矩阵的LU、QR和cholesy分解求方程组的解 （1）LU分解： A*X=b 变成 L*U*X=b 所以 X=U\(L\b) 这样可以大大提高运算速度。 例：求方程组 的一个特解。 解： A=[4 2 -1;3 -1 2;11 3 -1]; B=[2 10 8]; D=det(A) D = 10 [L,U]=lu(A) L = 0.3636 -0.5000 1.0000 0.2727 1.0000 0 1.0000 0 0 U = 11.0000 3.0000 -1.0000 0 -1.8182 2.2727 0 0 0.5000 X=U\(L\B) X = 0.4000 3.2000 6.0000 A*X ans = 2.0000 10.0000 8.0000 （2）Cholesky分解 若A为对称正定矩阵，则Cholesky分解可将矩阵A分解成上三角矩阵和其转置的乘积， 方程 A*X=b 变成 R’*R*X=b 所以 X=R\(R’\b) （3）QR分解 对于任何长方矩阵A，都可以进行QR分解，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵的初等变换形式，即：A=QR 方程 A*X=b 变形成 QRX=b 所以 X=R\(Q\b) 这三种分解，在求解大型方程组时很有用。其优点是运算速度快、可以节省磁盘空间、节省内存。 三个变换 在线性方程组的迭代求解中，要用到系数矩阵A的上三角矩阵、对角阵和下三角矩阵。此三个变换在MATLAB中可由以下函数实现。 上三角变换： 格式 triu(A,1) 对角变换： 格式 diag(A) 下三角变换： 格式
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