高中数学恒成立问题的一般解法.docVIP

高中数学恒成立问题的一般解法 高三数学复习中，我们经常会遇到恒成立问题，恒成立问题主要涉及到一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的性质、图象，渗透着换元、转化与化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的分析问题、解决问题的能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在分析题目过程中，特别要注意与能成立问题的区别，以防导致解题错误。常见恒成立问题大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接根据函数的图象。当然，这几种类型在方法的运用上面都有异曲同工之处，一般主要用变量分离，数形结合，函数最值，根的分布的思想方法进行处理即可解决问题。 一次函数型（注意改换主元的方法运用） 对于满足|p|2的所有实数p,求使不等式x2+p·x+12p+x恒成立的x的取值范围。 分析：在不等式中出现了两个字母：x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数，即改换主元。可将p视作自变量，则上述问题可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题。 略解：不等式即(x-1)p+x2-2x+10,设f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有： 即解得： ∴x-1或x3. 评析：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)0，则根据函数的图象（直线）及它的单调性可得 ⅰ）或ⅱ）亦可合并定成 同理，若在[m,n]内恒有f(x)0，则有 二次函数型（函数与方程的思想，根的分布） 设f(x)=x2-2ax+2,当x[-1,+)时，都有f(x)a恒成立，求a的取值范围。 分析：题目中要证明f(x)a恒成立，若把a移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1,+)时恒大于0的问题。 解：设F(x)= f(x)-a=x2-2ax+2-a. ⅰ)当=4（a-1)(a+2)0时，即-2a1时，对一切x[-1,+)，F(x) 0恒成立； ⅱ）当=4（a-1)(a+2) 0时由图可得以下充要条件： 即 得-3a-2; 综合可得a的取值范围为[-3，1]。 或解：将其转化为，采用变量分离转化为求函数值域亦可解决问题。 关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解，求a的范围。 分析：题目中出现了3x及9x，故可通过换元转化成二次函数型求解。 解法1（利用韦达定理，换元法）： 设3x=t,则t0.则原方程有解即方程t2+(4+a)t+4=0有正根。 即 解得a-8. 解法2（利用根的分布知识）： 即要求t2+(4+a)t=0有正根。设f(x)= t2+(4+a)t+4. 10.=0,即（4+a）2-16=0,∴a=0或a=-8. a=0时，f(x)=(t+2)2=0,得t=-20，不合题意； a=-8时，f(x)=(t-2)2=0,得t=20,符合题意。∴a=-8. 20. 0,即a-8或a0时， ∵f(0)=40,故只需对称轴，即a-4.∴a-8综合可得a-8. 解法3（分离变量） 即求出，转化为函数值域问题求解。利用函数单调性或重要不等式求的最值。 评析：若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的定义为R大于0恒成立，则有；若是二次函数对应方程有两正根、两负根、一正根一负根一般只需考虑根的判别式与韦达定理即可；若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以用根的分布知识求解。当然，一般情况下主要从五个方面进行考虑：（1）二次项系数的符号，（2）根的判别式，（3）韦达定理即根与系数的关系，（4）对称轴与区间的关系，（5）区间端点所对应的函数值的符号。 变量分离型（函数最值） 已知当xR时，不等式a+cos2x5-4sinx恒成立，求实数a的取值范围。 分析：在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（xR），另一变量a的范围即为所求，故可考虑将a及x分离。 解：原不等式即：4sinx+cos2x-a+5 要使上式恒成立，只需-a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题。 f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx-1)2+33, ∴-a+53即a2 注：若把sinx换元成t,则可把原不等式转化成关于t的二次函数类型。 另解：a+cos2x5-4sinx即 a+1-2sin2x5-4sinx,令sinx=t,则t[-1,1], 整理得2t2-4t+4-a0,( t[-1,1])恒成立