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递推数列全接触 在近几年的高考题中，递推数列的身影经常出现，在国内外的竞赛考试中，还经常做为“压阵”题。由于递推数列的情况繁多，同一类型，稍微改变其中的数据，或把数字改变为含n的代数式，方法就大为不同，因此学生学习起来感到千头万序，不知从何下手。下面，我们就把递推数列的各种类型给同学们做个总结。 一、递推数列的定义 数列的若干连续项之间的关系，叫递推关系，由递推关系和初始条件确定的数列叫递推数列（或称递归数列），表达递推关系的式子叫递推式。递推式中，由两个连续项的关系an=f(an-1)(n=2,3,4…)及一个初始项a1，所确定的数列，叫一阶递推数列；由三个连续项的关系，an=f(an-1,an-2)（n=2,3,4,…），及两个初始项a1，a2所确定的数列，叫二阶递推数列。如an=an-1+an-2(n≥2) …，高中阶段最多涉及二阶递推数列。若按递推式中各项所含数列连续项的次数n为线性的和非线性的递推数列，若递推方程中，各an都是一次的，叫线性递推数列，如an=3an-1+2an-2(n≥3)，否则就是非线性的，如an2=3an-1+an-2等。 二、递推数列的几种形式 1、常系数一阶线性递推数列 an+1=pan+q(p，q为常数) 当p=1时{an}为等差数列 当q=0时{an}为等比数列 求通项的方法： 1）换元法：令an=bn+k或待定系数法 即原式可化为bn+α=β(bn-1+α)，整理后与原式比较系数，然后求k或α+β 2）作差法 3）迭代归纳法 例1、设，，求数列的通项。 解法1、令an=bn+k ∴an+1=bn+1+k ∴bn+1+k=2bn+2k+1得bn+1-2bn=k+1 令k+1= 0，得k=-1∴an=bn-1，bn=an+1∴{bn}为一首项为a1+1=2，公比为2的等比数列。bn=2·2n-1=2n ∴an=2n-1；或原式可化为an+α=β(bn-1+α) 得an+1=βan+αβ-α∴β=2, ,得，∴an+1+1=2(an+1) 知{an+1}为一首项为2，公比为2的等比数列。得an=2n-1 解法2：上式可通过观察得 an+1=2an+1 两边各加1，得an+1+1=2(an+1)，以下解法同解法1 说明：这种方法对简单的可行，复杂的无法看出。 解法3：an+2=2an+1+1 ① an+1=2an+1　 ② ①-②得an+2-an+1=2(an+1-an) 令bn+1=an+2-an+1，则bn=an+1-an，知bn+1=2bn，以下解法同解法1 2、非常系数一阶递推数列 an+1=f(n)an+g(n) 其中f(n) 、g(n)为关于n的函数 1）当f(n)=1时，得an+1=an+g(n)，可用迭加法； 2）当g(n)=0时，得=f(n)，可用迭加法。 例2：已知a1=1 an+1=an+(n+1) (n∈N*)，求an 解：an=an-1+n (n≥2) an-1=an-2+n-1 …… a2=a1+2 各式相加得an=a1+2+…+n=(n≥2)，当n=1时，an=1=a1成立 ∴an= 例3、已知a1=1,an+1=3nan ，n∈N*,求an 解知（n≥2） … 各式相乘得 ∴an= 当n=1时，有an=30=1=a1成立。 ∴an= 3)当f(n)为非1的常数时，采用下面的方式 例4、设{an}中，a1=1 an+1=3an+2n,求an 解:n≥2时，在an=3an-1+2中左右各除以3n，得 令bn= 则有bn+1= ∴bn=bn-1+，可用迭加法，求解得an= 4）当f(n)不是常数时，采用下面的方式 例5、已知数列{an}中，a1=3且nan+1=(n+2)an+n (n≥1),求an 解：由an+1= 得an= an-2=，两边同乘以得 an-2=，两边同乘以得 … a2=,两边同乘以得到下式 =,各式相加得 an= = 下面用归纳法计算bn bn=1+ 当n=2时，b2=1= 当n=3时，b3=1+ 当n=3时，b4=1+ 当n=5时，b5=1+ … 用数列归纳法可证得：bn= ∴an= 3、二阶常系数齐次线性递推数列： an+2=pan+1+qan，其中p、q为常数 其解法如下： 例6、an+1+2an+3an-1=0且a1=1,a2=5,求an(n≥2) 解：令an+1+2an+3an-1=0化为 an+1+αan=β(an+αan-1) 整理得：an+1=(β-α)an+αβan-1 得β-α=-2 αβ=-3 解得 当α=3，β=1有an+1+3an=an+3an-1(n≥2) ∴{an+1+3an}为一首项为8的常数列，∴an+1+3an=8 转化为第1类型，得an=2-(-3)n-1 当α=-1