用好“三个一”讲好一道题.docVIP

用好“三个一”，讲好一道题 浙江省舟山市普陀区教育局教研室 俞 凯 316100 ［摘 要］ 题不在多而在精，对选定的每一个例题深入钻研精益求精，站在系统的高度，时时注意寻找知识之间的联系.一题多解，一题多变，又要多题归一，从中寻求共性，总结思维规律，这才是解题教学的灵魂. ［关键词］解题教学；一题多解；一题多变；多题归一 在数学解题教学中，重视“以例及类”，关注基本思路的获得以及解题经验的运用，站在知识系统的角度看问题，力求“一题多解，一题多变，多题归一”．善于用“普遍联系”的观点思考问题，启发学生思维，从而达到融会贯通和触类旁通的效果． 1．一题多解----发现与总结思维规律 一题多解的实质是解题或证题以不同的方式反映条件与结论之间的本质联系，从不同的角度，不同的方位思考问题，探求不同的解答方案，从而达到拓宽思路，使思维向多方向发散，有利于理清各知识间联系． 例题（2014泸州）如图1，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为4，则a的值是（ ） A.4 B.3+ C. D.3+ 本题作为选择题的最后一题，“简约”而不简单，有难度，知识综合性强，能力要求高；突出核心知识、思想和方法的考查． 1.1 从“分解题目条件”出发，降低解题难度 解题是分化困难因素，分解讨论，有时可先解决一部分的过程． 首先，从条件来看，如图2， （1）⊙P的圆心是（3，a），半径为3，故圆心P到y轴的距离PO等于半径，⊙P与y轴相切 （2）函数y=x的图象与x轴、y轴的夹角都为45°，即∠DOB＝45° （3）函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，故运用“垂径定理”，作弦心距PE，连结半径PB，可求得PE=1 其次，从结果来看，求点P的纵坐标，即求OD的长． 1.2 从“基本图形”分解中,探索解题方向 在对题目的分析过程中，首先从几何直观出发回忆已经解决的问题，以期从中获得启发，于是我们想到“基本图形”，在基本图形的分解中分析问题． （1）向外补形——将问题转化为直角三角形问题 解法1：如图3，延长EP，交y轴于点F，则问题转化为解Rt△PDF和Rt△OEF，即可求得a=3+，故选B. （2）向内分割——将问题转化为平行四边形和直角三角形问题 解法2：如图4，过点P作PF∥OE，交y轴于点F，得Rt△PDF和直角梯形PEOF，再过点P作PG∥OD交OE于点G．则四边形ODPE被分割为平行四边形PFOG和Rt△PDF、Rt△PGE．解Rt△PDF、Rt△PGE即可． （3）“割”、“补”结合——将问题转化为矩形和直角三角形问题 解法3：如图5，过点 P作PC∥OD，交x轴、OE于点C、F，则四边形OCPD为矩形，问题转化为解Rt△PEF、Rt△OCF． （4）“交轨法” 从点P到直线y=x的距离等于1出发，想到与y=x平行的两条直线，求这个交点． 解法4：如图6，分别过点P、O作PF∥OE，OP∥PE，两线交于点F，则OF=PE=1，由△OFC是等腰直角三角形，于是可得直线PC为：，把代入，得． 本题解法颇多，探究自然顺畅，其实，利用“割”、“补”结合与交轨法最简单，且有较佳的教学价值．若将题目稍改变条件，就能挖掘出许多新的题目． 2．一题多变----寻求联系与归纳共性 以原题为基本题型，适当改变条件，或提出另一形式的问题．从而得到既与原题相类似，又不失联系的新问题，予以求解．这样的变式教学，在数学教学中经常被我们所用． 变式1 如图7，已知点P是反比例函数（＞0）上的一个动点，以点P为圆心，2为半径的圆若与直线相切，与y轴相交，则点P的坐标为 ▲ ；若以点P为圆心，2为半径的圆与直线相交，交点为A、B，当弦AB的长等于时，则点P的坐标为 ▲ 2.1 从“基本经验”出发，寻找解题通性通法 我们又发现需要用到解决问题的“基本经验”，最后回到原点，直指结论，需要“基本思想”进行转化，提炼出“直观后的理性分析”是解题的最佳策略． 分析：解决动点问题的关键在哪里？构图，有切点，连半径，得垂直．从结果来看，求点P的纵坐标，即求OD的长，过点P作x轴的垂线段．又点P在双曲线上，可转化为在双曲线上找一点到直线y=x的距离等于2．因此，利用“割”、“补”结合或交轨法，这两种方法学生自然会想到的． 解法1:过点P作Pc⊥x轴于点C、交直线y=x于点F,如图8（1），问题转化为解Rt△OCF、Rt△PEF, ∵PE=2,可得PF=,设OC=CF=t，则点P的坐标为（t，t+）代入双曲线即可． ∴t（t+）=4 ∴ 解得：,（舍去）∴P（，） 解法2:过点P作直线y=x的平行线，交y轴于点