中位线【DOC精选】.docVIP

第13讲 中位线 〖学习目标〗 1.探索并证明三角形中位线定理． 2.能利用中位线进行计算和证明． ※考情分析 中位线是有平行四边形性质推导得出的一个结论，应用它来证明线段的倍分关系和线段平行，比用全等和平行四边形来得更方便．在中考试卷考查有两种题型，一是直接考查中位线的质量为位置关系，一般出现在填空或选择中，相对比较容易；二是以中位线为手段证明其它结论，一般出现在解答题中． 〖基础知识·轻松学〗 一、定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 精讲：一个三角形有三条边，三条边上共有三个中点，每两个中点的连线段共有三条，即有三条中位线，这三条中位线将原三角形分成四个全等的三角形． 如图13-1，连接三角形三边中点的△DEF称为中点三角形，其周长是△ABC周长的一半，面积是△ABC面积的四分之一． 图13-1图13-2图13-3 二、三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半． 符号语言：（如图13-2）∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，且DE＝BC 精讲：三角形中位线定理的证明： 已知：如图13-2，在△ABC中，D，E分别是AB，BC边的中点． 试说明：DE∥BC，DE＝BC． 理由：如图13-3，延长ED到点F，使得DF＝DE，连接BF． 易证：△BDF≌△ADE，∴BF＝AE，∠F＝∠AED，DF＝DE． ∴BF∥CE，∵DE是△ABC的中位线，∴AE＝CE，∴BF＝CE ∴四边形FBCE为平行四边形，∴EF∥BC，EF＝BC，∴DE∥BC，DE＝BC 三、推论 如图13-2，若点D为AB的中点，E为AC上一点，DE∥BC，则点E为AC的中点． 精讲：这个结论证明思路 如图13-3，过点B作BF∥AC，交ED延长线于点F．可证明△BDF≌△ADE，即BF＝AE．再证明四边形BFEC为平行四边形，得BF＝CE，即可得到点E为AC的中点． 〖重难疑点·轻松破〗 一、中位线反映了线段间的平行和数量关系 三角形的中位线定理，反映了三角形的中位线与第三边的双重关系：一是位置关系；二是数量关系．位置关系可证明两直线平行；数量关系可证明线段的倍分关系． 例1：如图13-4，△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC＝6，则DF的长是（ ） A．2 B．3 C． D．4 图13-4 分析：由于D，E分别是BC，AC的中点，所以DE是△ABC的中位线，根据中位线定理可知DE∥AB，所以∠BFD＝∠ABF； 又由于BF平分∠ABC，所以∠ABF＝∠CBF，就可证得△BDF为等腰三角形，要求DF的长，只需求BD的长即可． 解：∵D，E分别是BC，AC的中点，∴BD＝BC＝3． ∴DE∥AB，∴∠BFD＝∠ABF． ∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF， ∴∠BFD＝∠CBF，∴DF＝BD＝3． 所以本题选B． 点评：当题中有中点时，特别是一个三角形中出现两边中点时，我们常常考虑运用三角形的中位线来解决问题．本题是采用中位线来证明两直线平行． 变式练习1：如图13-5，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ） A．7 B．9 C．10 D．11 图13-5 例2：如图13-6，已知E为平行四边形ABCD中DC边延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF．求证：AB＝2OF． 图13-6 分析：点O是平行四边形两条对角线的交点，所以点O是线段AC的中点，要证明AB＝2OF，我们只需证明点F是BC的中点，即证明OF是△ABC的中位线，证明F是BC的中点有两种方法，方法一是证明四边形ABEC是平行四边形，利用平行四边形的对角线互相平分来证明；方法二是证明△ABF≌△ECF，利用全等三角形对应边相等来证明． 解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，点O是AC的中点 ∵CE＝DC，∴四边形ABEC是平行四边形． ∴点F是BC的中点，∴OF是△ABC的中位线，∴AB＝2OF． 点评：由于中位线等于三角形第三边长的一半，因此当需要证明某一线段是另一线段的一半或两倍时，且题中出现中点的时候，常常考虑使用中位线定理． 变式练习2：已知：在如图13-7的□ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，AN与DM相交于P，BN与CM相交于Q．求证：PQ与MN互相平分． 图13-7 二、补全三角形，使得中点连线段成为中位线 当一个图形中出现具有公共端点的两条线