个求极值和值域专题【DOC精选】.docVIP

23个求极值和值域专题 1、求函数的值域. 2、求函数的值域. 3、求函数的值域. 4、求函数的值域. 5、已知函数（其中）的值域是，求实数. 6、已知：为正实数，且，求函数的最小值. 7、已知：，求：的最小值. 8、设函数在区间的最小值为，最大值为，求区间. 9、已知：，求函数的最大值. 10、求函数：的最小值. 11、求函数：的值域. 12、已知实数满足和，求的最小值. 13、求函数：的最小值. 14、已知：，求函数：的最小值. 15、已知点在椭圆上，求的最大值. 16、求函数：的值域. 17、求函数：的值域. 18、求函数：的最大值. 19、设：为正实数，且满足， 试求：的最小值. 20、已知为正实数，且满足， 求：的最大值. 21、设为锐角，求：的最小值. 22、设为锐角，求证：. 23、已知为正实数，求证：. 23个求极值和值域专题解析 1、求函数的值域. 解析：函数的定义域为：. 函数的导函数为： ⑴当时，，则 即：函数在区间为单调递减函数，故： ； 故：函数在该区间的值域是. ⑵当时，，则 即：函数在区间为单调递增函数，故： ； 故：函数在该区间的值域是. 综上，函数的值域是. 2、求函数的值域. 解析：函数的定义域是：. 待定系数法用于柯西不等式来解本题. 设：，则柯西不等式为： 即： 令：，即： ① 由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得： ② ③ 由②得：，即：，即： ④ 将①④代入③得： 即：， 即： 即： ⑤ 试解⑤，，且，则：，， 代入④得：，即时函数取得极大值. 函数极大值为 ⑴当时，函数在本区间为单调递增函数. 故： 即：函数在区间的值域是 ⑵当时，函数在本区间为单调递减函数. 故： 即：函数在区间的值域是 综上，函数的值域是. 3、求函数的值域. 解析：函数的定义域是：. 待定系数法用于柯西不等式来解本题. 设：，则柯西不等式为： 即： 令：，即： ① 由柯西不等式的等号成立条件，即函数取极值时条件得： ② 即：，即：，即： 即：，即：，即： ③ 将①式代入③式得： 当时，函数达到极大值. 极大值为： 函数的导函数为： ⑴当区间时，，函数单调递增. 故： 即：函数在本区间的值域是. ⑵当区间时，，函数单调递减. 故： 即：函数在本区间的值域是. 综上，函数的值域是. 4、求函数的值域. 解析：函数的定义域是：. 则函数为： （当时取负号，当时取正号） 于是函数的极值在： 即： 即：，即： ⑴在区间，函数的极值为： 在区间的边界有： 故：函数在该区间的值域是. ⑵在区间，函数，为单调递减函数. 故有：； 故：函数在该区间的值域是. 综上，函数的值域是. 5、已知函数（其中）的值域是，求实数. 解析：函数的定义域为. 将函数变形为：，即： 其判别式不等式为： 即： ① 而函数的值域是，即： 即： ② 对比①②两式得：，，即，因，故： 故：实数，. 6、已知：为正实数，且，求函数的最小值. 解析：首先设，代入得：，即：，则： ⑴当时，由均值不等式，即：得： 则： ⑵当时，由均值不等式，即：得： 则： ⑶当时，由均值不等式，即： 代入已知条件， 得： 则： 故：由⑴、⑵、⑶得，的最小值是. 7、已知：，求：的最小值. 解析：由已知条件得：，即： 代入得： 即： 令：，则方程变为： 采用判别式法得：，即：，即： 故：的最小值是. 8、设函数在区间的最小值为，最大值为，求区间. 解析：首先，是一个偶函数，在区间单调递增，在区间单调递减. ⑴当时，为单调递减函数，即：.故： 是最大值为，是最小值为，即： 即： （*） （*）两式相减得： 即： ① 则: ，即： ② （*）两式相加得： 将①②式代入后化简得： ③ 由①③得：，. 则区间为. ⑵当、时，的最大值是，即：. i.若，则的最小值为：， 即：，解之及可得：， 故此时区间为. ii.若则的最小值为：， 即：， 则：. 不符合题设，即此时无解. ⑶当时，由是一个偶函数可得：，故： 是最小值为，是最大值为，即： 即： 则：为一元二次方程的两个根， 由韦达定理得： 则由得：异号. 不符合题设，即此时无解. 综上，区间为或. 9、已知：，求函数的最大值. 解析：由可知，函数的定义域是：， 有均值不等式，即： 即： 即： 当时，，，即，可以取到不等式的等号。 故：函数的最大值是. 10、求函数：的最小值. 解析：函数 其定义域为： 令：， 则：，， 于是： 当时，，即：， 即：，则： 所以，是可以取到的. 故的最小值是. 正是由于时，函数取到