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2008年全国初中数学竞赛答案 1. 【答】（A） 解：因为，≥0，由已知条件得 ， ， 所以 7． 2. 【答】（C） 解：基本事件总数有6×6＝36，即可以得到36个二次函数. 由题意知 ＝＞0，即＞4. 通过枚举知，满足条件的有17对. 故. 3. 【答】（B） 解：如图，大圆周上有4个不同的点A，B，C，D，两两连线可以确定6条不同的直线；小圆周上的两个点E，F中，至少有一个不是四边形ABCD的对角线AC与BD的交点，则它与A，B，C，D的连线中，至少有两条不同于A，B，C，D的两两连线．从而这6个点可以确定的直线不少于8条． 当这6个点如图所示放置时，恰好可以确定8条直线． 所以，满足条件的6个点可以确定的直线最少有8条． 4. 【答】（B） 解：如图，连接OE，OA，OB． 设，则 ． 又因为 ， 所以≌，于是． 5. 【答】（D） 解：设是1，2，3，4，5的一个满足要求的排列． 首先，对于，不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾． 又如果（1≤i≤3）是偶数，是奇数，则是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数． 所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件： 2，1，3，4，5； 2，3，5，4，1； 2，5，1，4，3； 4，3，1，2，5； 4，5，3，2，1． 6. 【答】，或． 解：由，得 ， 依题意有 解得，，或． 7. 【答】4． 解：设18路公交车的速度是米/分，小王行走的速度是米/分，同向行驶的相邻两车的间距为米． 每隔6分钟从背后开过一辆18路公交车，则 ． ① 每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车，则 ． ② 由①，②可得 ，所以 ． 即18路公交车总站发车间隔的时间是4分钟． 8. 【答】9． 解：如图，设点N是AC的中点，连接MN，则MN∥AB． 又， 所以 ， 所以 ． 因此 9． 9. 【答】． 解：如图，设△ABC的三边长为a，b，c，内切圆I的半径为r，BC边上的高为，则 ， 所以 ． 因为△ADE∽△ABC，所以它们对应线段成比例，因此 ， 所以 ， 故 ． 10. 【答】 解：因为208是4的倍数，偶数的平方数除以4所得的余数为0，奇数的平方数除以4所得的余数为1，所以x，y都是偶数． 设，则 ， 同上可知，a，b都是偶数．设，则 ， 所以，c，d都是偶数．设，则 ， 于是 ＝， 其中s，t都是偶数．所以 ≤． 所以可能为1，3，5，7，9，进而为337，329，313，289，257，故只能是＝289，从而＝7．于是 因此 11. 解：（1）令，得；令，得． 所以A，B两点的坐标分别为，于是，△OAB的面积为 ． 由题意，有 ， 解得 ，． （2）由（1）知 ≥， 当且仅当时，有，即当，时，不等式中的等号成立． 所以，△OAB面积的最小值为． 12. 解：关于x的方程的根为，关于y的方程的根为． 设，则 当时，有，不满足条件； 当时，有，不满足条件； 当时，得； 当时，得． 由于，于是有 ． 又由于为正整数，得知t是有理数，从而t是整数． 由，得，即b取最小值为 =． 所以，b的最小值为62997． 13. 解：存在满足条件的三角形． 当△ABC的三边长分别为，，时，． 如图，当时，延长BA至点D，使．连接CD，则△为等腰三角形． 因为为△的一个外角，所以．由已知，，所以 ．所以△为等腰三角形． 又为△与△的一个公共角，有△∽△，于是 ， 即 ，　　 所以 ． 而，所以此三角形满足题设条件，故存在满足条件的三角形． 说明：满足条件的三角形是唯一的． 若，可得．有如下三种情形： （i）当时，设，，（为大于1的正整数）， 代入，得，解得，有，，； （ⅱ）当时，设，，（为大于1的正整数）， 代入，得，解得 ，有，，，此时不能构成三角形； （ⅲ）当时，设，，（为大于1的正整数）， 代入，得，即 ，此方程无整数解． 所以，三边长恰为三个连续的正整数，且其中一个内