2008年全国初中数学联合竞赛试题.doc

2008年全国初中数学联合竞赛试题（天津赛区）参考答案及评分标准 说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数. 第一试 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） 本题共有6小题，每题均给出了代号为的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分. 1．设，，且，则代数式的值为 （ ） 5. 7. 9. 11. 【答】. 解 由题设条件可知，，且，所以是一元二次方程的两根，故，，因此. 故选. 2．如图，设，，为三角形的三条高，若，，，则线段的长为 （ ） . 4. . . 【答】. 解 根据勾股定理，有 AB＝AE+BE ①，BC＝BE＋EC ②，用①－②，得到AB－BC＝AE－EC＝(AE－EC)·(AE＋CE)，所以AE＋CE＝(6－5)÷＝5，从而解得AE＝，CE＝，这样BE=. 故选. 3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任意取出两张，把第一张卡片上的数字作为十位数字，第二张卡片上的数字作为个位数字，组成一个两位数，则所组成的数是3的倍数的概率是 （ ） . . . . 【答】. 解 能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个. 所以所组成的数是3的倍数的概率是. 故选. 4．在△中，，，和分别是这两个角的外角平分线，且点分别在直线和直线上，则 （ ） . . . 和的大小关系不确定. 【答】. 解 ∵，为的外角平分线，∴. 又，∴， ∴. 又， ∴ ， ∴. 因此，.故选. 5．现有价格相同的5种不同商品，从今天开始每天分别降价10％或20％，若干天后，这5种商品的价格互不相同，设最高价格和最低价格的比值为，则的最小值为 （ ） . . . . 【答】 . 解 容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况. 设5种商品降价前的价格为，过了天. 天后每种商品的价格一定可以表示为 ，其中为自然数，且. 要使的值最小，五种商品的价格应该分别为：，， ，，，其中为不超过的自然数. 所以的最小值为. 故选. 6． 已知实数满足，则的值为 （ ） . 2008. . 1. 【答】. 解 ∵， ∴， ， 由以上两式可得. 所以，解得，所以 . 故选. 二、填空题（本题满分28分，每小题7分） 1．设，则. 解 ∵，∴， ∴ . 2．如图，正方形的边长为1，为所在直线上的两点，且，，则四边形的面积为 解 设正方形的中心为，连，则，, , ∴. 又， ， 所以△∽△，故，从而. 根据对称性可知，四边形的面积 . 3．已知一次函数（为整数且≠1）的图象与轴、y轴的交点分别为A、B，且△OAB的面积是正整数，则＝ 2 . 解 不难求得A、B两点的坐标分别为（－，0），（0，a），故 ··＝ 注意到、a均为整数，故为整数，于是a－1＝1或－1，即a＝2或0.将此两值分别代入可知a＝0时，＝0应舍去；a＝2时，＝2满足题设.故a＝2. 4．依次将正整数1，2，3，…的平方数排成一串：149162536496481100121144…，排在第1个位置的数字是1，排在第5个位置的数字是6，排在第10个位置的数字是4，排在第2008个位置的数字是 1 . 解 到，结果都只各占1个数位，共占个数位； 到，结果都只各占2个数位，共占个数位； 到，结果都只各占3个数位，共占个数位； 到，结果都只各占4个数位，共占个数位； 到，结果都只各占5个数位，共