2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案.doc

2008年全国初中数学联合竞赛试题参考答案 第一试 1、【答】.解 由题设条件可知，，且，所以是一元二次方程的两根，故，，因此. 故选. 2、【答】. 解 因为，，为三角形的三条高，易知四点共圆， 于是△∽△，故，即，所以. 在Rt△中，. 故选. 3．【答】.解 能够组成的两位数有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34，35，41，42，43，45，51，52，53，54，共20个，其中是3的倍数的数为12，15，21，24，42，45，51，54，共8个. 所以所组成的数是3的倍数的概率是. 故选. 4．【答】.解 ∵，为的外角平分线，∴. 又，∴， ∴. 又， ∴ ， ∴. 因此，.故选. 5．【答】 .解 容易知道，4天之后就可以出现5种商品的价格互不相同的情况. 设5种商品降价前的价格为，过了天. 天后每种商品的价格一定可以表示为 ，其中为自然数，且. 要使的值最小，五种商品的价格应该分别为：，， ，，，其中为不超过的自然数. 所以的最小值为. 故选. 6． 【答】.解 ∵， ∴， ， 由以上两式可得. 所以，解得，所以 . 故选. 1．解 ∵，∴， ∴ . 2．解 设正方形的中心为，连，则，, , ∴. 又， ， 所以△∽△，故，从而. 根据对称性可知，四边形的面积 . 3．解 根据题意，是一元二次方程的两根，所以，. ∵，∴，. ∵方程的判别式，∴. ，故，等号当且仅当时取得； ，故，等号当且仅当时取得. 所以，，于是. 4．解 到，结果都只各占1个数位，共占个数位； 到，结果都只各占2个数位，共占个数位； 到，结果都只各占3个数位，共占个数位； 到，结果都只各占4个数位，共占个数位； 到，结果都只各占5个数位，共占个数位； 此时还差个数位. 到，结果都只各占6个数位，共占个数位. 所以，排在第2008个位置的数字恰好应该是的个位数字，即为1. 第二试 （A） 一．（本题满分20分）解 整理不等式（1）并将代入，得 （2） 在不等式（2）中，令，得；令，得. 易知，，故二次函数的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间. 由题设知，不等式（2）对于满足条件的一切实数恒成立，所以它的判别式，即. 由方程组 （3） 消去，得，所以或. 又因为，所以或， 于是方程组（3）的解为或 所以的最小值为，此时的值有两组，分别为 和. 二．（本题满分25分） 解 （1）连，因为为圆心，，所以△∽△，从而. 因为，所以 ， 所以，因此点在圆的圆周上. （2）设圆的半径为，的延长线交于点，易知.设，，，则，， . 因为,,，所以△∽△，所以，即，故. 所以，即，其中等号当时成立，这时是圆的直径.所以圆的的半径的最小值为. 三．（本题满分25分） 解 （1）式即，设，则 （2） 故，又，所以 （3） 由（1）式可知，能被509整除，而509是质数，于是能被509整除，故为整数，即关于的一元二次方程（3）有整数根，所以它的判别式为完全平方数. 不妨设（为自然数），则. 由于和的奇偶性相同，且，所以只可能有以下几种情况： ①两式相加，得，没有整数解. ②两式相加，得，没有整数解. ③两式相加，得，没有整数解. ④两式相加，得，没有整数解. ⑤两式相加，得，解得. ⑥两式相加，得，解得，而不是质数，故舍去. 综合可知. 此时方程（3）的解为或（舍去）. 把，代入（2）式，得. 第二试 （B） 一．（本题满分20分 解 由可知. 在（1）式中，令，得；令，得. 将代入（1）式，得，即 （2） 易知，，故二次函数的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间. 由题设知，不等式（2）对于满足条件的一切实数恒成立，所以它的判别式，即. 由方程组 （3） 消去，得，所以或，又因为，所以或. 于是方程组（3）的解为或所以满足条件的的值有两组，分别为和. 第二试 （C） 三．（本题满分25分） 解 （1）式即， 设，则 （3） 故，又，所以 （4） 由（1）式可知，能被509整除，而509是质数，于是能被509整除，故为整数，即关于的一元二次方程（4）有整数根，所以它的判别式为完全平方数. 不妨设（为