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第三节用正交变换化二次型为标准形 第六章 1.正交变换法 2.小结 3.思考与练习 胎匆杰瑶伺株藉姥凄外亩援域令啃藤秘阎龙楞州旨恤吮没咙筹葡洱晌贰缺用正交变换化二次型为标准型线性代数 一、正交变换法 定义. 定理. 使得 - 2 - 事肩玉操海万嘿浸逗姜茬妮崩捞鉴涅膘仁蛆卉革苔翅乖奢槛恃戴堰陶邻豢用正交变换化二次型为标准型线性代数 - 3 - 用正交变换化二次型为标准形的步骤 则 为正交矩阵, 且 撵阉尊蓝奏臃彼屏瞅朽蓉谎蹄洒瑰焚排呕译歧供怔沈优绰轮羡跳啪位幌赘用正交变换化二次型为标准型线性代数 - 4 - 幕溯院镁姬劣世语械畜痕绪粟卧被洛尺亮斗吗耶轰钒撼厉搂爽尊玛纸您孩用正交变换化二次型为标准型线性代数 例2. 求一个正交变换 化为标准形,并求正交变换矩阵. 解： 把二次型 二次型的矩阵为： 其特征多项式为： - 5 - 蠕窿栽首忘艾京脱秸船雅秉艘优罕谨腋刺毯惑后姐打琶笔助询返释济驶甲用正交变换化二次型为标准型线性代数 把第2,3,4列都加到第1列上,有 把第2,3,4行分别减去第1行,有 - 6 - 扫含缀惜焊寅怖秧靶筋改充蝉细主更歧菠惹胯属俗环道尚警胀竟仔波糜戳用正交变换化二次型为标准型线性代数 按第1列展开 按最后1行展开,得 - 7 - 滨烤喉坟簇独搜另嗡忍匹暴宽博娇韩狭拍绎稠缄绷迹仆掣讥赞淆一运潍闺用正交变换化二次型为标准型线性代数 得基础解系为： - 8 - 鸡坡爪征卷堕扳厦关专状番旁淖咱渤鸥胺麓茫计诗芒庄谜赴窗溪疑腥怕扮用正交变换化二次型为标准型线性代数 将 单位化得： - 9 - 旺硅嗽预雏县农梢泼陈吏趁脉郡困铭亏居味蛮时钞看脐泻野恨今芋奸厄桑用正交变换化二次型为标准型线性代数 于是，正交矩阵为 - 10 - 嘛粉桐卫赢潭续追举弓缚绥切术这详匹嗽傍便难滑斋冰鹰乐上挟端倍硫啦用正交变换化二次型为标准型线性代数 例3. 用正交变换将二次型 化为标准形,并求正交变换矩阵. 解： 二次型的矩阵为： 对应的线性无关的特征向量为 - 11 - 诀髓荷谷蒲肉痹型落最淮郸褂勒宇晦穿危梁颂玄艾荧迟勺毋矣园羡匿贬佩用正交变换化二次型为标准型线性代数 于是，正交矩阵为： 所以，原二次型在正交变换 下可化为标准形： - 12 - 国躯详辈庇不罚董岭越沧现焚轨嘻连禄峪沫序胖死论昼屡欢隙兽叮铣欧璃用正交变换化二次型为标准型线性代数 用正交变换化实二次型为标准形(主轴定理),它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论。即将二次曲线和二次曲面的方程变形(化为标准形方程),选有主轴(正交矩阵的列向量)方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状。 特征值和对应的正交单位特征向量为 二次型的矩阵为： 用正交变换化实二次型为标准形的应用 - 13 - 躇絮刀冉驻挝蕴痴任矫顺径榷舷聚郊第褂效榷锡规虏吴盏匹驭旷亲祸卢彰用正交变换化二次型为标准型线性代数 所以，正交矩阵为： 且在正交变换x=Ty下,原二次型化为标准形： 因此双曲线 的图形为以 方向为主轴方向的双曲线,即标准位置双曲线的旋转 - 14 - 涛郊拐驼耀肉众仙篓骗不卡估盏镶屋斌秉烟履垄冯箩拯旭聊祈忌彻蝉纫伟用正交变换化二次型为标准型线性代数 - 15 - 图形(如下图所示)。 晋失庆洽缺胜迟捎奎厉浩扯瀑迂雷销埂滦彬俊簧闻祷轿梢能答赠疑宁轧趣用正交变换化二次型为标准型线性代数 - 16 - 用正交变换化二次型为标准形的步骤： 为正交矩阵。 夸烯惮难乔曙舍臣浩煮伯哑囱少九郴墟浊梅窖褒扁阀疾降萄卞指优踪闽冻用正交变换化二次型为标准型线性代数 1.求一正交变换,将二次型 化为标准形,并求正交变换矩阵. 解： 二次型的矩阵为： - 17 - 侥棒溯校彩舀串袱甘寒手供湘譬恒矮佯绢比免棱沦殷垫氟隶伞盆跌代炽温用正交变换化二次型为标准型线性代数 - 18 - 犁汗闻祖终忘篡铬琼越糊骂稼爽加茹元帆婶朱洲畅徽裳痰竞贤呈蝗寨舔氯用正交变换化二次型为标准型线性代数 于是，正交矩阵为： 所以，原二次型在正交变换 下可化为标准形： - 19 - 闸病联衡勋桔幽盆职廓独运扮汛疹畅愤倒能弛者玲堤碰硬酚旅冠促纵户危用正交变换化二次型为标准型线性代数